Dada a matriz A=\left(\begin{array}{cc}2 & k \\\\ -2 & 1\end{array}\right), \operatorname{det} A \neq 0, qual(is) o(s) valor(es) de k para que \operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & k \\\\ -2 & 1\end{pmatrix},
e a condição \det A \neq 0. Pergunta-se: quais valores de k fazem com que
\det A=\det A^{-1} ?
Dados relevantes que temos desde o enunciado:
  • A matriz A depende do parâmetro k.
  • A matriz é invertível (isto é implicado por \det A\neq0).
  • Queremos os k que satisfazem a igualdade entre o determinante de A e o determinante de A^{-1}.

Passo 2

Vamos lembrar e aplicar a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
temos
\det M = ad-bc.
Aplicando isso à matriz A (onde a=2, b=k, c=-2, d=1), obtemos:
\det A = 2\cdot 1 - k\cdot(-2) = 2 + 2k = 2(1+k).

Passo 3

Agora precisamos usar a relação entre o determinante da inversa e o determinante da matriz original. Para qualquer matriz invertível A vale a propriedade
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}.
Portanto a igualdade pedida \det A=\det A^{-1} é equivalente a
\det A = \frac{1}{\det A}.
Multiplicando ambos os lados por \det A (isso é permitido porque \det A\neq0), obtemos
(\det A)^2 = 1.

Passo 4

Substituímos a expressão encontrada para \det A em função de k:
\big(2(1+k)\big)^2 = 1.
Desenvolvendo:
4(1+k)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad (1+k)^2 = \frac{1}{4}.
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades \pm):
1+k = \pm \frac{1}{2}.
Agora resolvemos para k em cada caso:
  • Se 1+k=\tfrac{1}{2} então k = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • Se 1+k=-\tfrac{1}{2} então k = -1 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Devemos checar a condição \det A\neq0 para não aceitar soluções inválidas. Calculemos \det A para cada candidato:
  • Para k=-\tfrac{1}{2}: \det A = 2(1+k)=2\big(1-\tfrac{1}{2}\big)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1, que é diferente de 0. A igualdade original fica 1=\det A^{-1}; como \det A^{-1}=1/\det A=1 a igualdade é satisfeita.
  • Para k=-\tfrac{3}{2}: \det A = 2(1+k)=2\big(1-\tfrac{3}{2}\big)=2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-1, também diferente de 0. A igualdade original fica -1=\det A^{-1}; como \det A^{-1}=1/\det A=1/(-1)=-1 a igualdade é satisfeita.
Ambas as soluções são válidas e não violam \det A\neq0.

Resposta

k=-\tfrac{1}{2}
k=-\tfrac{3}{2}

Exercícios relacionados