(2,o pontos) Discuta o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-3 z=2 \\\ m x+y+z=1\end{array}\right. segundo m
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com parâmetro m\):
\[\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y-3z=2,\\[4pt] m x+y+z=1. \end{cases}
O que nos pedem é discutir o sistema "segundo m\]", isto é:
- para quais valores de \(m o sistema tem solução única,
- para quais valores de m tem infinitas soluções,
- para quais valores de m não tem solução (incompatível).
Informações relevantes dadas:
As três equações lineares com incógnitas x,y,z e parâmetro m.
O vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Estratégia (escolha do método): para discutir um sistema linear com parâmetro é natural calcular o determinante da matriz dos coeficientes; ele indica se a matriz é invertível. Se a matriz dos coeficientes tiver determinante não nulo então há solução única (matriz invertível). Se o determinante for zero precisamos verificar consistência (ranks) — aí o sistema terá ou infinitas soluções (compatível indeterminado) ou nenhuma solução (incompatível). Vou usar essa abordagem porque é direta e típica para sistemas 3×3 com parâmetro.
Vou calcular o determinante \det(A). Lembrete rápido sobre determinante de 3\times3: uma forma prática (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores) permite calcular \det(A) como combinação linear dos elementos da primeira linha e determinantes das submatrizes 2\times2.
Calculemos \det(A) expandindo pela primeira linha:
Se \det(A)\neq0 (isto é, 3m+14\neq0 ou m\neq-\dfrac{14}{3}) então a matriz A é invertível e o sistema tem solução única.
Se \det(A)=0 (isto é, m=-\dfrac{14}{3}) então a matriz não é invertível e precisamos verificar consistência (compatibilidade).
Antes de tratar o caso singular, mostro também como obter explicitamente a solução quando ela é única (útil para a prova): podemos usar a Regra de Cramer. Para m\neq-\dfrac{14}{3} a solução é dada por
onde A_x é a matriz obtida substituindo a primeira coluna de A pelo vetor de termos independentes b=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, e analogamente para A_y,A_z.
Calculemos esses determinantes (isto também serve como verificação rápida):
Agora tratemos o caso singular m=-\dfrac{14}{3}. Aqui \det(A)=0. Para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma, é prático verificar se o vetor de termos independentes b está no espaço coluna de A (ou, equivalentemente, comparar os ranks da matriz A e da matriz aumentada (A|b)). Uma forma direta é usar determinantes de Cramer auxiliares: se, quando \det(A)=0, ao menos um dos determinantes \det(A_x),\det(A_y),\det(A_z) for diferente de zero, então o sistema é incompatível (sem solução). Se todos esses determinantes também forem zero, então o sistema é compatível e terá infinitas soluções.
Já calculámos \det(A_x)=13 e esse valor não depende de m. Assim, quando m=-\dfrac{14}{3} temos \det(A)=0 mas \det(A_x)=13\neq0. Isso significa que o sistema aumentado tem maior rank que a matriz dos coeficientes: rank(A)<rank(A|b). Conclusão: para m=-\dfrac{14}{3} o sistema é incompatível (não tem solução).
(Se preferir ver por eliminação: ao zerar \det(A) as equações ficam linearmente dependentes de forma que a combinação das duas primeiras não produz a terceira com o mesmo termo independente; portanto a terceira entra em contradição com as duas primeiras — a verificação pelo determinante acima é a maneira direta.)
Passo 5
Conclusão final resumida (classificação segundo m):
Para m\neq-\dfrac{14}{3}: o sistema tem solução única dada por
Para m=-\dfrac{14}{3}: o sistema é incompatível (não tem solução).
Resposta
Para m\neq -\dfrac{14}{3}: solução única, \displaystyle x=\frac{13}{3m+14},\; y=\frac{11-6m}{3m+14},\; z=\frac{3-4m}{3m+14}.
Para m=-\dfrac{14}{3}: sistema incompatível (sem solução).