(2,o pontos) Discuta o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-3 z=2 \\\ m x+y+z=1\end{array}\right. segundo m

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro m\): \[\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y-3z=2,\\[4pt] m x+y+z=1. \end{cases}
O que nos pedem é discutir o sistema "segundo m\]", isto é: - para quais valores de \(m o sistema tem solução única,
- para quais valores de m tem infinitas soluções,
- para quais valores de m não tem solução (incompatível).
Informações relevantes dadas:
  • As três equações lineares com incógnitas x,y,z e parâmetro m.
  • O vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Estratégia (escolha do método): para discutir um sistema linear com parâmetro é natural calcular o determinante da matriz dos coeficientes; ele indica se a matriz é invertível. Se a matriz dos coeficientes tiver determinante não nulo então há solução única (matriz invertível). Se o determinante for zero precisamos verificar consistência (ranks) — aí o sistema terá ou infinitas soluções (compatível indeterminado) ou nenhuma solução (incompatível). Vou usar essa abordagem porque é direta e típica para sistemas 3×3 com parâmetro.
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[2pt] 2 & 1 & -3\\[2pt] m & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante \det(A). Lembrete rápido sobre determinante de 3\times3: uma forma prática (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores) permite calcular \det(A) como combinação linear dos elementos da primeira linha e determinantes das submatrizes 2\times2.
Calculemos \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]m & 1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]m & 1\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2 é calculado por \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Então
\det(A)=1\cdot(1\cdot1-(-3)\cdot1)+2\cdot(2\cdot1-(-3)\cdot m)+3\cdot(2\cdot1-1\cdot m).
Calcule passo a passo:
1\cdot(1+3)=4, \qquad 2\cdot(2+3m)=4+6m, \qquad 3\cdot(2-m)=6-3m.
Somando:
\det(A)=4+(4+6m)+(6-3m)=14+3m.
Portanto
\det(A)=3m+14.]

Passo 3

Interpretação do determinante:
  • Se \det(A)\neq0 (isto é, 3m+14\neq0 ou m\neq-\dfrac{14}{3}) então a matriz A é invertível e o sistema tem solução única.
  • Se \det(A)=0 (isto é, m=-\dfrac{14}{3}) então a matriz não é invertível e precisamos verificar consistência (compatibilidade).
Antes de tratar o caso singular, mostro também como obter explicitamente a solução quando ela é única (útil para a prova): podemos usar a Regra de Cramer. Para m\neq-\dfrac{14}{3} a solução é dada por
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},
onde A_x é a matriz obtida substituindo a primeira coluna de A pelo vetor de termos independentes b=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, e analogamente para A_y,A_z.
Calculemos esses determinantes (isto também serve como verificação rápida):
  • A_x=\begin{pmatrix}0 & -2 & 3\\[2pt]2 & 1 & -3\\[2pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}. Seu determinante:
\det(A_x)=0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando:
\det(A_x)=0+2\cdot(2\cdot1-(-3)\cdot1)+3\cdot(2\cdot1-1\cdot1)=2\cdot5+3\cdot1=10+3=13.
  • A_y=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[2pt]2 & 2 & -3\\[2pt]m & 1 & 1\end{pmatrix}. Determinante:
\det(A_y)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}-0+\;3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]m & 1\end{pmatrix}.
Calculando:
\det(A_y)=1\cdot(2\cdot1-(-3)\cdot1)+3\cdot(2\cdot1-2\cdot m)=5+3(2-2m)=5+6-6m=11-6m.
  • A_z=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\\[2pt]2 & 1 & 2\\[2pt]m & 1 & 1\end{pmatrix}. Determinante:
\det(A_z)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}-(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]m & 1\end{pmatrix}+0.
Calculando:
\det(A_z)=1\cdot(1\cdot1-2\cdot1)+2\cdot(2\cdot1-2\cdot m)=-1+2(2-2m)=-1+4-4m=3-4m.
Portanto, para m\neq-\dfrac{14}{3} a solução única é
x=\frac{13}{3m+14},\qquad y=\frac{11-6m}{3m+14},\qquad z=\frac{3-4m}{3m+14}.]

Passo 4

Agora tratemos o caso singular m=-\dfrac{14}{3}. Aqui \det(A)=0. Para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma, é prático verificar se o vetor de termos independentes b está no espaço coluna de A (ou, equivalentemente, comparar os ranks da matriz A e da matriz aumentada (A|b)). Uma forma direta é usar determinantes de Cramer auxiliares: se, quando \det(A)=0, ao menos um dos determinantes \det(A_x),\det(A_y),\det(A_z) for diferente de zero, então o sistema é incompatível (sem solução). Se todos esses determinantes também forem zero, então o sistema é compatível e terá infinitas soluções.
Já calculámos \det(A_x)=13 e esse valor não depende de m. Assim, quando m=-\dfrac{14}{3} temos \det(A)=0 mas \det(A_x)=13\neq0. Isso significa que o sistema aumentado tem maior rank que a matriz dos coeficientes: rank (A)<rank (A|b). Conclusão: para m=-\dfrac{14}{3} o sistema é incompatível (não tem solução).
(Se preferir ver por eliminação: ao zerar \det(A) as equações ficam linearmente dependentes de forma que a combinação das duas primeiras não produz a terceira com o mesmo termo independente; portanto a terceira entra em contradição com as duas primeiras — a verificação pelo determinante acima é a maneira direta.)

Passo 5

Conclusão final resumida (classificação segundo m):
  • Para m\neq-\dfrac{14}{3}: o sistema tem solução única dada por
x=\frac{13}{3m+14},\qquad y=\frac{11-6m}{3m+14},\qquad z=\frac{3-4m}{3m+14}.
  • Para m=-\dfrac{14}{3}: o sistema é incompatível (não tem solução).

Resposta

Para m\neq -\dfrac{14}{3}: solução única, \displaystyle x=\frac{13}{3m+14},\; y=\frac{11-6m}{3m+14},\; z=\frac{3-4m}{3m+14}.
Para m=-\dfrac{14}{3}: sistema incompatível (sem solução).

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