Discuta o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-3 z=2 \\\ m x+y+z=1\end{array}\right. segundo m.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro m\): \[\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y-3z=2,\\[4pt] m x+y+z=1. \end{cases}
O que pede: "discutir o sistema segundo m\]". Ou seja, para cada valor de \(m devemos dizer se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e — quando houver solução única — apresentar essa solução em função de m. As equações e o parâmetro m acima são todas as informações dadas.]

Passo 2

Escolha do método (explicação curta do porquê): vou usar eliminação de Gauss para transformar o sistema e, em paralelo, calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Por quê? Porque verificar o determinante é a maneira direta de saber se o sistema tem solução única (determinante não nulo) e a eliminação mostra explicitamente o caso degenerado (determinante zero) e se o sistema fica compatível ou não. A eliminação que vou fazer é básica (operações entre linhas), fácil de aplicar à mão na prova.

Passo 3

Formo a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes:
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -3\\[4pt] m & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A (expansão por primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]m & 1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]m & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-3)\cdot1=4,
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]m & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-3)\cdot m=2+3m,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]m & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot m=2-m.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot4 +2\cdot(2+3m) +3\cdot(2-m)=4 +4+6m +6-3m=14+3m.]

Passo 4

Interpretação do determinante: se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 então o sistema pode ser ou compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução); neste caso é preciso analisar as equações reduzidas (eliminação) para ver qual acontece.
A condição \det(A)=0 equivale a
14+3m=0\quad\Longrightarrow\quad m=-\dfrac{14}{3}.
Portanto teremos dois casos importantes: m\neq -\dfrac{14}{3} (determinante não nulo → solução única) e m=-\dfrac{14}{3} (determinante zero → investigar compatibilidade).

Passo 5

Faço a eliminação de Gauss para obter solução geral (válida quando \det(A)\neq0\)). Parto da matriz aumentada inicial: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -3 & 2\\[4pt] m & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1
R_2: \;[0,\;5,\;-9\;|\;2].
  • R_3\leftarrow R_3-mR_1
R_3: \;[0,\;1+2m,\;1-3m\;|\;1].
A matriz ficou
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -9 & 2\\[4pt] 0 & 1+2m & 1-3m & 1 \end{array}\right].
As duas últimas linhas formam o subsistema em y,z:
\begin{cases} 5y-9z=2,\\[4pt] (1+2m)y+(1-3m)z=1. \end{cases}
O determinante desse sistema de 2\times2\] (o determinante do bloco) é \[\Delta_{2}=5(1-3m)-(-9)(1+2m)=14+3m,\] que coincide com \(\det(A) — como deve ser. Para \Delta_{2}\neq0 (ou seja m\neq -\dfrac{14}{3}) podemos resolver para z e y por eliminação direta.]

Passo 6

Resolvendo para z (quando m\neq -\dfrac{14}{3}). A partir das manipulações algébricas feitas ao eliminar, tomo a equação resultante que aparece ao substituir y em função de z. Do primeiro: y=\dfrac{2+9z}{5}. Substituindo na segunda e multiplicando por 5 obtém-se
(1+2m)(2+9z)+5(1-3m)z=5.
Expando:
2+4m + (14+3m)z =5.
Então
(14+3m)z = 3-4m.
Como 14+3m\neq0, temos
z=\dfrac{3-4m}{14+3m}.
Agora y por y=\dfrac{2+9z}{5}. Substituindo z e simplificando:
y=\dfrac{2+9\cdot\dfrac{3-4m}{14+3m}}{5} =\dfrac{55-30m}{5(14+3m)}=\dfrac{11-6m}{14+3m}.
Finalmente x vem da primeira equação x-2y+3z=0, ou seja x=2y-3z. Substituindo y e z e simplificando:
x=\dfrac{13}{14+3m}.
Portanto, quando m\neq -\dfrac{14}{3} a solução única é
x=\dfrac{13}{14+3m},\qquad y=\dfrac{11-6m}{14+3m},\qquad z=\dfrac{3-4m}{14+3m}.
(Observação didática: é elegante quando as expressões simplificam assim; em prova faça as operações com cuidado linha a linha para não errar sinais.)

Passo 7

Agora trato o caso singular m=-\dfrac{14}{3}. Substituo m=-\dfrac{14}{3} nas linhas reduzidas obtidas no Passo 5:
  • A segunda linha continua sendo 5y-9z=2.
  • A terceira linha torna-se (calculemos os coeficientes):
1+2m=1+2\left(-\dfrac{14}{3}\right)=1-\dfrac{28}{3}=-\dfrac{25}{3},
1-3m=1-3\left(-\dfrac{14}{3}\right)=1+14=15,
e o termo do lado direito permanece 1. Multiplicando a terceira linha por 3 para clareza obtemos
-25y+45z=3.
Multiplicando a segunda linha por -5 obtemos
-25y+45z=-10.
As duas equações dão o mesmo lado esquerdo mas termos constantes diferentes (-10 e 3). Isso é impossível, logo as duas equações são contraditórias. Portanto para m=-\dfrac{14}{3} o sistema é incompatível: não há solução.

Passo 8

Resumo interpretativo e dica prática: o determinante indicou imediatamente o valor crítico m=-\dfrac{14}{3}. Para qualquer outro m o sistema tem solução única que pode ser escrita explicitamente como em Passo 6. No valor crítico o sistema fica inconsistente (duas equações iguais em coeficientes mas com termos independentes diferentes), portanto não existe solução. Na prova, mostrar a eliminação que leva à contradição é suficiente para concluir incompatibilidade.

Resposta

Para m\neq -\dfrac{14}{3}: única solução
x=\dfrac{13}{14+3m},\qquad y=\dfrac{11-6m}{14+3m},\qquad z=\dfrac{3-4m}{14+3m}.
Para m=-\dfrac{14}{3}: o sistema é incompatível (não tem solução).

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