Discuta o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y-3 z=2 \\\ m x+y+z=1\end{array}\right. segundo m.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com parâmetro m\):
\[\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y-3z=2,\\[4pt] m x+y+z=1. \end{cases}
O que pede: "discutir o sistema segundo m\]". Ou seja, para cada valor de \(m devemos dizer se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e — quando houver solução única — apresentar essa solução em função de m. As equações e o parâmetro m acima são todas as informações dadas.]
Passo 2
Escolha do método (explicação curta do porquê): vou usar eliminação de Gauss para transformar o sistema e, em paralelo, calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Por quê? Porque verificar o determinante é a maneira direta de saber se o sistema tem solução única (determinante não nulo) e a eliminação mostra explicitamente o caso degenerado (determinante zero) e se o sistema fica compatível ou não. A eliminação que vou fazer é básica (operações entre linhas), fácil de aplicar à mão na prova.
Passo 3
Formo a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes:
Interpretação do determinante: se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 então o sistema pode ser ou compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução); neste caso é preciso analisar as equações reduzidas (eliminação) para ver qual acontece.
Portanto teremos dois casos importantes: m\neq -\dfrac{14}{3} (determinante não nulo → solução única) e m=-\dfrac{14}{3} (determinante zero → investigar compatibilidade).
Passo 5
Faço a eliminação de Gauss para obter solução geral (válida quando \det(A)\neq0\)). Parto da matriz aumentada inicial:
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -3 & 2\\[4pt] m & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Elimino a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
O determinante desse sistema de 2\times2\] (o determinante do bloco) é
\[\Delta_{2}=5(1-3m)-(-9)(1+2m)=14+3m,\]
que coincide com \(\det(A) — como deve ser. Para \Delta_{2}\neq0 (ou seja m\neq -\dfrac{14}{3}) podemos resolver para z e y por eliminação direta.]
Passo 6
Resolvendo para z (quando m\neq -\dfrac{14}{3}). A partir das manipulações algébricas feitas ao eliminar, tomo a equação resultante que aparece ao substituir y em função de z. Do primeiro: y=\dfrac{2+9z}{5}. Substituindo na segunda e multiplicando por 5 obtém-se
(1+2m)(2+9z)+5(1-3m)z=5.
Expando:
2+4m + (14+3m)z =5.
Então
(14+3m)z = 3-4m.
Como 14+3m\neq0, temos
z=\dfrac{3-4m}{14+3m}.
Agora y por y=\dfrac{2+9z}{5}. Substituindo z e simplificando:
e o termo do lado direito permanece 1. Multiplicando a terceira linha por 3 para clareza obtemos
-25y+45z=3.
Multiplicando a segunda linha por -5 obtemos
-25y+45z=-10.
As duas equações dão o mesmo lado esquerdo mas termos constantes diferentes (-10 e 3). Isso é impossível, logo as duas equações são contraditórias. Portanto para m=-\dfrac{14}{3} o sistema é incompatível: não há solução.
Passo 8
Resumo interpretativo e dica prática: o determinante indicou imediatamente o valor crítico m=-\dfrac{14}{3}. Para qualquer outro m o sistema tem solução única que pode ser escrita explicitamente como em Passo 6. No valor crítico o sistema fica inconsistente (duas equações iguais em coeficientes mas com termos independentes diferentes), portanto não existe solução. Na prova, mostrar a eliminação que leva à contradição é suficiente para concluir incompatibilidade.