Dada a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 1 & 2 & 0\end{array}\right),
(a) calcule A+A^{t}.
(b) calcule A A^{t}.
(c) as matrizes resultantes dos itens (a) e (b) são também simétricas?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e pede: (a) A + A^{t}, (b) A\,A^{t} e (c) verificar se as matrizes obtidas são simétricas. Vamos usar as definições de transposta, soma e produto de matrizes, além da definição de matriz simétrica (uma matriz M é simétrica se M^{t}=M).

Passo 2

Calcular a transposta A^{t}. Basta trocar linhas por colunas de A:
A^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Observa-se que A^{t}=A, ou seja, A já é simétrica.

Passo 3

Calcular A + A^{t} elemento a elemento. Como A^{t}=A, temos
A + A^{t} = A + A = 2A = \begin{pmatrix} 2\cdot2 & 2\cdot3 & 2\cdot1\\\\ 2\cdot3 & 2\cdot4 & 2\cdot2\\\\ 2\cdot1 & 2\cdot2 & 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 2\\\\ 6 & 8 & 4\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Verificar simetria de A + A^{t}. Pelo cálculo vemos que
(A + A^{t})_{ij} = (A + A^{t})_{ji}
para todos i,j. Logo (A + A^{t})^{t} = A + A^{t} e, portanto, A + A^{t} é simétrica.

Passo 5

Calcular o produto A\,A^{t}. Como A^{t}=A, é simplesmente A^2. Fazendo o produto linha-por-coluna:
A\,A^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 20 & 8\\\\ 20 & 29 & 11\\\\ 8 & 11 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 6

Verificar simetria de A\,A^{t}. Note que
(A\,A^{t})_{ij} = (A\,A^{t})_{ji}
pelos valores calculados, ou ainda pelo fato geral de que A\,A^{t} é sempre simétrica para qualquer matriz A. Portanto (A\,A^{t})^{t} = A\,A^{t}.

Resposta

(a) A + A^{t} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 2\\\\ 6 & 8 & 4\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
(b) A\,A^{t} = \begin{pmatrix} 14 & 20 & 8\\\\ 20 & 29 & 11\\\\ 8 & 11 & 5 \end{pmatrix}.
(c) Sim. As duas matrizes são simétricas.

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