Para as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right), mostre que
B^{2} \neq 0_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt]4 & -2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt]2 & 0\end{pmatrix}
e pede para mostrar que
B^{2}\neq 0_{2\times2}.
O conteúdo principal aqui é multiplicação de matrizes, usando a definição
(B^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{2}B_{ik}\,B_{kj}.]

Passo 2

Vamos calcular B^{2}=B\cdot B via definição de produto de matrizes de ordem 2:
B^{2} =\begin{pmatrix} 0\cdot0 + 2\cdot2 & 0\cdot2 + 2\cdot0 \\[6pt] 2\cdot0 + 0\cdot2 & 2\cdot2 + 0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 0 \\[3pt] 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz obtida tem entradas diagonais iguais a 4, que são não nulas. Logo,
B^{2}=\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 0 & 4\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =0_{2\times2}.

Resposta

B^{2}=\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 0 & 4\end{pmatrix}\neq 0_{2\times2}.

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