Dada a matriz:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right]
Qual é a sua inversa?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 4 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right]
e pede a sua inversa A^{-1}.
Informações relevantes: a matriz é 2\times2; para existir inversa, o determinante deve ser diferente de zero.

Passo 2

Fórmula prática e explicação didática para matrizes 2\times2.
Se
A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right],
o determinante é
\det(A)=ad-bc.
A matriz A é invertível (tem inversa) se, e só se, \det(A)\neq0. A inversa é dada pela fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right].
Explicação curta: trocar a com d e trocar o sinal de b e c produz a matriz adjunta (mais precisamente a adjugata para 2\times2); dividir pela determinante corrige a escala para obter a identidade ao multiplicar por A.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado: identifique a=1, b=4, c=3, d=2. Calcule o determinante:
\det(A)=ad-bc = 1\cdot 2 - 4\cdot 3 = 2 - 12 = -10.
Como \det(A)=-10\neq0, a inversa existe.

Passo 4

Calcule a matriz de cofatores trocada (a adjugata no caso 2\times2):
\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -4 \\\\ -3 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Divida essa matriz por \det(A)=-10:
A^{-1}=\frac{1}{-10}\left[\begin{array}{cc} 2 & -4 \\\\ -3 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \dfrac{2}{-10} & \dfrac{-4}{-10} \\\ \dfrac{-3}{-10} & \dfrac{1}{-10} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\\ \dfrac{3}{10} & -\dfrac{1}{10} \end{array}\right].

Passo 6

Verificação rápida (multiplicação para confirmar que A A^{-1}=I):
Calcule o produto A A^{-1}.
Primeira entrada (linha 1, coluna 1):
1\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)+4\cdot\left(\dfrac{3}{10}\right)=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{12}{10}=-\dfrac{2}{10}+\dfrac{12}{10}=\dfrac{10}{10}=1.
Entrada (linha 1, coluna 2):
1\cdot\dfrac{2}{5}+4\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{2}{5}-\dfrac{4}{10}=\dfrac{4}{10}-\dfrac{4}{10}=0.
Entrada (linha 2, coluna 1):
3\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)+2\cdot\dfrac{3}{10}=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{10}=-\dfrac{6}{10}+\dfrac{6}{10}=0.
Entrada (linha 2, coluna 2):
3\cdot\dfrac{2}{5}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{6}{5}-\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{10}-\dfrac{2}{10}=1.
Portanto A A^{-1}=I, verificação concluída.

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\\ \dfrac{3}{10} & -\dfrac{1}{10} \end{array}\right]

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