Dada as matrizes:
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -2 \\\\ -3 & 1 & 0 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right]
Quanto vale o produto de X=A . B ?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 3\times3:
A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -2 \\\\ -3 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix}
e pede o produto X = A \cdot B.
Informações relevantes:
  • Ambas as matrizes têm dimensão 3\times3.
  • O produto X será também uma matriz 3\times3.
  • Cada entrada de X será obtida usando os elementos das linhas de A e das colunas de B.

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (fórmula e explicação didática):
Se A é uma matriz m\times p e B é uma matriz p\times n, então X=AB é uma matriz m\times n cujas entradas são dadas por
x_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui:
  • x_{ij} é o elemento na linha i e coluna j de X.
  • a_{ik} é o elemento na linha i e coluna k de A.
  • b_{kj} é o elemento na linha k e coluna j de B.
  • A soma percorre k de 1 até p, ou seja, faz-se o produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B.
Exemplo concreto (mini-aula): para calcular x_{11} usamos a primeira linha de A e a primeira coluna de B:
x_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}.
Vamos aplicar isso para cada entrada de X.

Passo 3

Calcular x_{11} (linha 1, coluna 1):
Usando a primeira linha de A \big(3,-2,1\big) e a primeira coluna de B \big(1,3,2\big)^T,
x_{11}=3\cdot 1 + (-2)\cdot 3 + 1\cdot 2.
Efetuando as operações:
x_{11}=3 - 6 + 2 = -1.

Passo 4

Calcular x_{12} (linha 1, coluna 2):
Primeira linha de A \big(3,-2,1\big) e segunda coluna de B \big(2,1,-2\big)^T,
x_{12}=3\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot (-2).
Efetuando:
x_{12}=6 - 2 - 2 = 2.

Passo 5

Calcular x_{13} (linha 1, coluna 3):
Primeira linha de A e terceira coluna de B \big(-3,0,1\big)^T,
x_{13}=3\cdot(-3) + (-2)\cdot 0 + 1\cdot 1.
Efetuando:
x_{13}=-9 + 0 + 1 = -8.

Passo 6

Calcular x_{21} (linha 2, coluna 1):
Segunda linha de A \big(1,2,-2\big) e primeira coluna de B \big(1,3,2\big)^T,
x_{21}=1\cdot 1 + 2\cdot 3 + (-2)\cdot 2.
Efetuando:
x_{21}=1 + 6 - 4 = 3.

Passo 7

Calcular x_{22} (linha 2, coluna 2):
Segunda linha de A e segunda coluna de B \big(2,1,-2\big)^T,
x_{22}=1\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-2)\cdot (-2).
Efetuando:
x_{22}=2 + 2 + 4 = 8.

Passo 8

Calcular x_{23} (linha 2, coluna 3):
Segunda linha de A e terceira coluna de B \big(-3,0,1\big)^T,
x_{23}=1\cdot(-3) + 2\cdot 0 + (-2)\cdot 1.
Efetuando:
x_{23}=-3 + 0 - 2 = -5.

Passo 9

Calcular x_{31} (linha 3, coluna 1):
Terceira linha de A \big(-3,1,0\big) e primeira coluna de B \big(1,3,2\big)^T,
x_{31}=(-3)\cdot 1 + 1\cdot 3 + 0\cdot 2.
Efetuando:
x_{31}=-3 + 3 + 0 = 0.

Passo 10

Calcular x_{32} (linha 3, coluna 2):
Terceira linha de A e segunda coluna de B \big(2,1,-2\big)^T,
x_{32}=(-3)\cdot 2 + 1\cdot 1 + 0\cdot (-2).
Efetuando:
x_{32}=-6 + 1 + 0 = -5.

Passo 11

Calcular x_{33} (linha 3, coluna 3):
Terceira linha de A e terceira coluna de B \big(-3,0,1\big)^T,
x_{33}=(-3)\cdot(-3) + 1\cdot 0 + 0\cdot 1.
Efetuando:
x_{33}=9 + 0 + 0 = 9.

Passo 12

Resumo das entradas calculadas: x_{11}=-1, x_{12}=2, x_{13}=-8; x_{21}=3, x_{22}=8, x_{23}=-5; x_{31}=0, x_{32}=-5, x_{33}=9.

Resposta

X=A\cdot B=\begin{bmatrix} -1 & 2 & -8 \\\\ 3 & 8 & -5 \\\\ 0 & -5 & 9 \end{bmatrix}

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