Dada a matriz:
A=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & -1 & 1 & -2 \\\\ 4 & -3 & 5 & 1\end{array}\right]
14) Calcular \operatorname{det} \mathrm{A} desenvolvendo-o pela 2{ }^{\mathrm{a}} linha

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det A expandindo pela segunda linha. O conteúdo é o desenvolvimento de Laplace (cofator) ao longo de uma linha:
\det A = \sum_{j=1}^{4}(-1)^{2+j}a_{2j}\det(M_{2j}),
onde a_{2j} são os elementos da 2ª linha e M_{2j} são as matrizes obtidas excluindo linha 2 e coluna j.

Passo 2

Identificamos os elementos da segunda linha:
a_{21}=0,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=2,\quad a_{24}=3.
Como a_{21}=0, o termo j=1 não contribui. Assim
\det A =(-1)^{2+2}a_{22}\det(M_{22}) +(-1)^{2+3}a_{23}\det(M_{23}) +(-1)^{2+4}a_{24}\det(M_{24}).

Passo 3

Calcular \det(M_{22}). A matriz M_{22} é
M_{22}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -2\\\\ 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
Pela regra de Sarrus ou cofactores em primeira linha:
\det(M_{22}) =-2\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 5 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 4 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 5 & 1\end{pmatrix}=11,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=9,\quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 5\end{pmatrix}=1.
Logo
\det(M_{22})=-2\cdot11-1\cdot9-1\cdot1=-22-9-1=-32.

Passo 4

Calcular \det(M_{23}). A matriz M_{23} é
M_{23}=\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1\\\\ 1 & -1 & -2\\\\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Pela primeira linha:
\det(M_{23}) =-2\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 4 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 4 & -3\end{pmatrix}.
Calculando menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix}=-7,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=9,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 4 & -3\end{pmatrix}=1.
Então
\det(M_{23})=-2\cdot(-7)-3\cdot9-1\cdot1=14-27-1=-14.

Passo 5

Calcular \det(M_{24}). A matriz M_{24} é
M_{24}=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 4 & -3 & 5 \end{pmatrix}.
Pela primeira linha:
\det(M_{24}) =-2\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ -3 & 5\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 4 & -3\end{pmatrix}.
Calculando menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ -3 & 5\end{pmatrix}=-2,\quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 5\end{pmatrix}=1,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 4 & -3\end{pmatrix}=1.
Logo
\det(M_{24})=-2\cdot(-2)-3\cdot1+1\cdot1=4-3+1=2.

Passo 6

Agora retornamos à expansão:
\det A = (+1)\cdot1\cdot(-32) +(-1)\cdot2\cdot(-14) +(+1)\cdot3\cdot2 =-32+28+6=2.

Resposta

2

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