Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ -1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 3 & -4 & -1 & 2 \\\\ 1 & -3 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ -1 & -2 & 1 & 0\\\\ 3 & -4 & -1 & 2\\\\ 1 & -3 & 2 & 0 \end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. O conteúdo é álgebra linear, mais precisamente o teste de invertibilidade por eliminação de Gauss–Jordan e a construção da inversa a partir da matriz aumentada [A\mid I].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr], unindo A à matriz identidade I_4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & -4 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & -3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos na coluna 1 abaixo do pivô a_{11}=1:
- R_2 \leftarrow R_2 + R_1
- R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1
- R_4 \leftarrow R_4 - R_1
Resultando em
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -10 & -10 & -10 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -5 & -1 & -4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Note que em R_2 a coluna 2 ficou zero, mas em R_3 e R_4 há entradas não nulas. Fazemos R_2\leftrightarrow R_3 para trazer um pivô não nulo à posição (2,2):
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -10 & -10 & -10 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -5 & -1 & -4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Normalizamos o pivô da linha 2 dividindo por -10 e implantamos a eliminação na coluna 2:
- R_2 \leftarrow -\tfrac1{10}R_2
- R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2
- R_4 \leftarrow R_4 + 5R_2
Obtemos
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 2 & \tfrac{2}{5} & 0 & \tfrac{1}{5} & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & \tfrac{3}{10} & 0 & -\tfrac{1}{10} & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 1 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Agora usamos a coluna 3:
- Dividimos R_3 por 4 para normalizar o pivô.
- Eliminamos em R_1,R_2,R_4 usando R_3.
Após isso, a parte esquerda fica \small\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&1\\\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}
e o lado direito ajustado.

Passo 7

Por fim, normalizamos R_4 em -3 e eliminamos a coluna 4 acima:
- R_4\leftarrow -\tfrac{1}{3}R_4
- R_1\leftarrow R_1 - R_4
- R_3\leftarrow R_3 - R_4
O resultado é a identidade à esquerda e, à direita, exatamente A^{-1}.

Resposta

A matriz A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{60} & -\tfrac{7}{12} & \tfrac{1}{30} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{20} & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{10} & 0\\[6pt] \tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

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