Dada a matriz \mathrm{P}=\left[\begin{array}{ll}x & 5 \\\ y & 1\end{array}\right], com x e y reais, pedem-se:
a) os valores da x e y para que se tenha P^{2}=I_{(2)};
b) a matriz \mathrm{P}^{17}, nas condições do item (a).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
P = \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix},
com x,y\in\mathbb{R}, e pede:
a) os valores de x e y para que P^{2}=I_{2};
b) a expressão de P^{17} nas condições do item (a).
Vamos usar multiplicação de matrizes para achar P^2 e depois explorar a relação P^2=I_{2} para resolver.
Passo 2
Calcular P^2 pelo produto de matrizes:
P^2 = P\cdot P = \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + 5y & 5x + 5\\\ yx + y & 5y + 1 \end{pmatrix}.
Passo 3
Impor P^2 = I_{2} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} gera o sistema