Dada a matriz \mathrm{P}=\left[\begin{array}{ll}x & 5 \\\ y & 1\end{array}\right], com x e y reais, pedem-se:
a) os valores da x e y para que se tenha P^{2}=I_{(2)};
b) a matriz \mathrm{P}^{17}, nas condições do item (a).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
P = \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix},
com x,y\in\mathbb{R}, e pede:
a) os valores de x e y para que P^{2}=I_{2};
b) a expressão de P^{17} nas condições do item (a).
Vamos usar multiplicação de matrizes para achar P^2 e depois explorar a relação P^2=I_{2} para resolver.

Passo 2

Calcular P^2 pelo produto de matrizes:
P^2 = P\cdot P = \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 5\\\ y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + 5y & 5x + 5\\\ yx + y & 5y + 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Impor P^2 = I_{2} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} gera o sistema
\begin{cases} x^2 + 5y = 1,\\\\ 5x + 5 = 0,\\\ yx + y = 0,\\\\ 5y + 1 = 1. \end{cases}

Passo 4

Resolver o sistema:
  • Da segunda equação, 5x + 5 = 0 implica
x = -1.
  • Da quarta equação, 5y + 1 = 1 implica
5y = 0\quad\Longrightarrow\quad y = 0.
  • A terceira equação y(x+1)=0 fica 0\cdot(x+1)=0, já satisfeita.
  • Verificação na primeira: (-1)^2 + 5\cdot0 = 1, ok.
Portanto
x = -1, \quad y = 0.

Passo 5

Com P^2 = I_{2}, para qualquer inteiro k vale
P^{2k} = (P^2)^k = I_{2}, \quad P^{2k+1} = P^{2k}P = I_{2}P = P.
No caso de 17, como 17=2\cdot8+1, temos
P^{17} = P.

Resposta

a) x = -1 e y = 0.
b) P^{17} = P = \begin{pmatrix} -1 & 5\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

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