Dada a Matriz Tensor Tensão, de um determinado elemento de tensão, perguntase: É possível existir um elemento de tensão que apresente esse estado de tensão? Justifique. Caso possível, representar as tensões atuantes no mesmo.
[ccc 91842 & 726 & 0 762 & 91842 & 10817 -10817 & 0 & 91842 ][k P a]
Resposta: Não, a matriz não atende a primeira característica da matriz tensor tensão de Cauchy, na qual as tensões de cisalhamento na parte superior da diagonal principal são espelhadas na parte inferior na matriz do exercício dado, ou seja taux y neq tauy x ; taux z neq tauz x ; tauy z neq tauz y.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de tensões
T = 91842 & 726 & 0 762 & 91842 & 10817 -10817& 0 & 91842 [kPa]
e pergunta se ela pode representar um tensor de tensões de Cauchy num ponto de um corpo. Lembramos que, em ausência de momentos de corpo livre, o tensor de tensões de Cauchy deve ser simétrico:
tauij = tauji
para todo par (i,j).

Passo 2

Verificamos os elementos fora da diagonal principal da matriz dada:
tauxy = 726, tauyx = 762,
tauxz = 0, tauzx = -10817,
tauyz = 10817, tauzy = 0
Vemos que
tauxyneqtauyx,
tauxzneqtauzx e
tauyzneqtauzy.

Passo 3

Como pelo menos um par de componentes de cisalhamento não coincide com seu espelho, a matriz não é simétrica e, portanto, não satisfaz a condição necessária de equilíbrio de momentos para o tensor de tensões de Cauchy.

Resposta

Não é possível existir esse estado de tensões, pois a matriz não é simétrica, violando a propriedade fundamental do tensor de tensões de Cauchy.

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