Como se define o limite de validade do modelo de meio contínuo?
Passo 1
O enunciado pede para explicar como determinamos o limite de validade do modelo de meio contínuo, assunto típico de mecânica dos sólidos e mecânica dos fluidos. Para isso vamos usar a ideia de separação de escalas entre o comprimento macroscópico de interesse e o comprimento microscópico característico do material.
Passo 2
Na hipótese de meio contínuo assumimos que grandezas como deslocamento, deformação ou densidade variam de forma suave, isto é, podemos descrevê-las por campos contínuos e diferenciáveis. Por trás disso existe a noção de um volume elementar representativo (REV), grande o suficiente para conter muitos átomos ou moléculas, mas pequeno comparado à escala macroscópica do problema.
Passo 3
Seja
a escala típica da microestrutura (por exemplo o espaçamento intermolecular ou o caminho livre médio das moléculas) e seja
o comprimento característico da região onde as variáveis mudam significativamente. Para o modelo contínuo funcionar precisamos que o REV se situe entre essas escalas:
Isso garante que, dentro de cada REV, as flutuações microscópicas “se cancelam” e podemos definir valores médios bem definidos.
Passo 4
Uma forma de quantificar esse critério é pelo número de Knudsen, definido como
Quando
, tipicamente
, a aproximação de meio contínuo é válida porque a microestrutura é desprezível em relação à variação macroscópica dos campos.
Passo 5
Quando
cresce até valores da ordem de
ou maiores, os efeitos discretos (não-contínuos) começam a dominar: não podemos mais usar derivadas clássicas nem leis locais de conservação sem correções. Nesse ponto o modelo de meio contínuo deixa de ser adequado e precisamos de teorias de microfluídica, mecânica estatística ou métodos de partículas.
Resposta
O limite de validade do modelo de meio contínuo é definido pela exigência de separação de escalas
ou seja, pelo fato de o número de Knudsen
ser muito pequeno (
). Quando essa condição deixa de ser satisfeita, o modelo contínuo perde validade.