Como se define o limite de validade do modelo de meio contínuo?

Passo 1

O enunciado pede para explicar como determinamos o limite de validade do modelo de meio contínuo, assunto típico de mecânica dos sólidos e mecânica dos fluidos. Para isso vamos usar a ideia de separação de escalas entre o comprimento macroscópico de interesse e o comprimento microscópico característico do material.

Passo 2

Na hipótese de meio contínuo assumimos que grandezas como deslocamento, deformação ou densidade variam de forma suave, isto é, podemos descrevê-las por campos contínuos e diferenciáveis. Por trás disso existe a noção de um volume elementar representativo (REV), grande o suficiente para conter muitos átomos ou moléculas, mas pequeno comparado à escala macroscópica do problema.

Passo 3

Seja ellmicro a escala típica da microestrutura (por exemplo o espaçamento intermolecular ou o caminho livre médio das moléculas) e seja L o comprimento característico da região onde as variáveis mudam significativamente. Para o modelo contínuo funcionar precisamos que o REV se situe entre essas escalas:
ellmicro;ll;L
Isso garante que, dentro de cada REV, as flutuações microscópicas “se cancelam” e podemos definir valores médios bem definidos.

Passo 4

Uma forma de quantificar esse critério é pelo número de Knudsen, definido como
Kn = ellmicroL
Quando Knll1, tipicamente Kn<10^-2, a aproximação de meio contínuo é válida porque a microestrutura é desprezível em relação à variação macroscópica dos campos.

Passo 5

Quando Kn cresce até valores da ordem de 10^-1 ou maiores, os efeitos discretos (não-contínuos) começam a dominar: não podemos mais usar derivadas clássicas nem leis locais de conservação sem correções. Nesse ponto o modelo de meio contínuo deixa de ser adequado e precisamos de teorias de microfluídica, mecânica estatística ou métodos de partículas.

Resposta

O limite de validade do modelo de meio contínuo é definido pela exigência de separação de escalas
ellmicroll L,
ou seja, pelo fato de o número de Knudsen
Kn=ellmicroL
ser muito pequeno ( Knll1). Quando essa condição deixa de ser satisfeita, o modelo contínuo perde validade.

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