Sendo \underset{\sim}{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right], \underset{\sim}{B}=\left[\begin{array}{ll}0 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] e \underset{\sim}{C}=\left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], verifique a propriedade distributiva \underset{\sim}{A} \cdot(\underset{\sim}{B}+\underset{\sim}{C})=\underset{\sim}{A} \cdot \underset{\sim}{B}+\underset{\sim}{A} \cdot \underset{\sim}{C}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, ou seja, mostrar que
\tilde A\cdot(\tilde B+\tilde C)=\tilde A\cdot\tilde B+\tilde A\cdot\tilde C.
Aqui vamos usar as definições de soma de matrizes (adição elemento a elemento) e produto de matrizes (linha por coluna).

Passo 2

Calcular primeiro a soma \tilde B+\tilde C. Soma-se cada entrada correspondente de \tilde B e \tilde C:
\tilde B+\tilde C = \begin{pmatrix}0 & 4\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 & 0\\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0+(-3) & 4+0\\\\ 1+1 & 2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 4\\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora computar \tilde A\cdot(\tilde B+\tilde C). Seja \tilde D=\tilde B+\tilde C=\begin{pmatrix}-3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}. Então
\tilde A\cdot\tilde D = \begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 4\\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.
Para cada entrada usamos a regra “linha de \tilde A vezes coluna de \tilde D”:
  • Em (1,1): 2\cdot(-3)+(-1)\cdot2 = -6 -2 = -8.
  • Em (1,2): 2\cdot4 + (-1)\cdot3 = 8 -3 = 5.
  • Em (2,1): 3\cdot(-3) + 1\cdot2 = -9 +2 = -7.
  • Em (2,2): 3\cdot4 +1\cdot3 = 12 +3 = 15.
    Logo,
\tilde A\cdot(\tilde B+\tilde C) = \begin{pmatrix}-8 & 5\\\\ -7 & 15\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular \tilde A\cdot\tilde B:
\tilde A\cdot\tilde B = \begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 4\\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Em (1,1): 2\cdot0 + (-1)\cdot1 = -1.
  • Em (1,2): 2\cdot4 + (-1)\cdot2 = 8 -2 = 6.
  • Em (2,1): 3\cdot0 +1\cdot1 = 1.
  • Em (2,2): 3\cdot4 +1\cdot2 = 12+2 = 14.
    Portanto,
\tilde A\cdot\tilde B = \begin{pmatrix}-1 & 6\\\\ 1 & 14\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular \tilde A\cdot\tilde C:
\tilde A\cdot\tilde C = \begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 0\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Em (1,1): 2\cdot(-3) + (-1)\cdot1 = -6 -1 = -7.
  • Em (1,2): 2\cdot0 + (-1)\cdot1 = -1.
  • Em (2,1): 3\cdot(-3) +1\cdot1 = -9 +1 = -8.
  • Em (2,2): 3\cdot0 +1\cdot1 = 1.
    Logo,
\tilde A\cdot\tilde C = \begin{pmatrix}-7 & -1\\\\ -8 & 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Somar \tilde A\cdot\tilde B com \tilde A\cdot\tilde C elemento a elemento:
\begin{pmatrix}-1 & 6\\\\ 1 & 14\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-7 & -1\\\\ -8 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1+(-7) & 6+(-1)\\\\ 1+(-8) & 14+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & 5\\\\ -7 & 15\end{pmatrix}.

Passo 7

Comparando os resultados obtidos:
\tilde A\cdot(\tilde B+\tilde C) = \begin{pmatrix}-8 & 5\\\\ -7 & 15\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \tilde A\cdot\tilde B+\tilde A\cdot\tilde C = \begin{pmatrix}-8 & 5\\\\ -7 & 15\end{pmatrix},
vemos que são iguais, confirmando a propriedade distributiva.

Resposta

\tilde A\cdot(\tilde B+\tilde C) = \tilde A\cdot\tilde B + \tilde A\cdot\tilde C.

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