Dada as matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
Mostre que a multiplicação da matriz por sua adjunta resulta no seu determinante multiplicado pela matriz identidade. Exemplo: A \cdot(\operatorname{adj} A)=\operatorname{det}(A) \cdot I_{n}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Foi dada a instrução: mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n,
A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
  • Foram fornecidas várias matrizes ( A,B,C,D), mas a tarefa é provar a identidade geral indicada (o enunciado usa A como exemplo).
  • Informação relevante que temos: definição de matriz adjunta (adjugate) e determinante serão necessárias; além disso, para conferir na prática, usarei a matriz
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 1 & 1\end{bmatrix}
como verificação numérica do resultado.]

Passo 2

Definições fundamentais (devagar, passo a passo) — menor, cofator, matriz adjunta.
  • Menor de \,A: para uma matriz quadrada A=(a_{ij})_{n\times n}, o menor associado à entrada a_{ij} é o determinante da matriz que se obtém de A ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Denotamos esse menor por M_{ij}.
  • Cofator de a_{ij}: define-se
C_{ij}=(-1)^{\,i+j}M_{ij}.
Isso coloca um sinal alternado em cada menor.
  • Matriz de cofatores (ou comatriz): é a matriz \mathrm{Cof}(A) = (C_{ij})_{n\times n}.
  • Matriz adjunta (adjugate): por definição
\operatorname{adj}A = \big(\mathrm{Cof}(A)\big)^{T},
ou seja, \operatorname{adj}A é a transposta da matriz de cofatores. Em termos de entradas, \big(\operatorname{adj}A\big)_{kj}=C_{jk}.
Dica prática para prova: saber que a expansão do determinante por cofatores usa exatamente os C_{ij}:
\det(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{ik}\qquad(\text{expansão pela linha }i)ã
e também
\det(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{kj} C_{kj}\qquad(\text{expansão pela coluna }j).ã

Passo 3

Mostrar a identidade entrando nas componentes da multiplicação: expressão genérica da entrada (i,j) de A\cdot(\operatorname{adj}A).
  • A entrada (i,j) do produto A\cdot(\operatorname{adj}A) é
\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,\big(\operatorname{adj}A\big)_{kj}.
  • Usando a relação entre adjunta e cofatores, \big(\operatorname{adj}A\big)_{kj}=C_{jk}. Substituindo:
\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}.
Essa fórmula é central: a soma envolve elementos da linha i de A e cofatores com primeiro índice j.

Passo 4

Analisar dois casos: [i=j) (diagonal) e i\neq j (fora da diagonal). Explicar por que resulta em \det(A) ou em 0.
  • Caso i=j. A fórmula fica
\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ii}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{ik}.
Mas isso é exatamente a expansão do determinante de A pela linha i. Logo
\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ii}=\det(A).
Isso vale para qualquer linha i.
  • Caso i\neq j. Considere a matriz A^{(j\leftarrow i)} obtida a partir de A substituindo a j-ésima linha pela i-ésima (ou seja, a linha j torna-se igual à linha i, enquanto as outras linhas permanecem iguais). Ao desenvolver o determinante de A^{(j\leftarrow i)} pela linha j obtém-se
\det\big(A^{(j\leftarrow i)}\big)=\sum_{k=1}^{n} (\text{entrada da linha }j\text{, coluna }k\text{ em }A^{(j\leftarrow i)})\;C_{jk}.
Mas nessa matriz a linha j é igual à linha i de A, portanto a entrada da linha j, coluna k em A^{(j\leftarrow i)} é a_{ik}. Assim
\det\big(A^{(j\leftarrow i)}\big)=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}.
Por outro lado, A^{(j\leftarrow i)} tem duas linhas idênticas (linhas i e j), portanto seu determinante é 0. Assim
\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}=0\quad\text{quando }i\neq j.
  • Combinando os dois casos, obtemos
\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ij}=\begin{cases} \det(A), & i=j,\\[4pt] 0, & i\neq j, \end{cases}
ou seja, a matriz A\cdot(\operatorname{adj}A)\] é a matriz diagonal com \(\det(A) em cada diagonal — isto é,
A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
Comentário de exame: esse raciocínio é o caminho mais direto em prova. A ideia-chave é reconhecer a soma \sum_k a_{ik}C_{jk} como expansão de um determinante (quando i=j é o próprio \det(A); quando i\neq j é o determinante de uma matriz com duas linhas iguais, portanto zero).]

Passo 5

Verificação concreta com a matriz A fornecida — calcular \det(A), a adjunta \operatorname{adj}A e o produto para checar numericamente.
  • Primeiro calculemos \det(A). Pela fórmula para 3\times3,
\det(A)=1\cdot(1\cdot1-2\cdot1)-2\cdot(0\cdot1-2\cdot1)+1\cdot(0\cdot1-1\cdot1).
Calcule passo a passo:
1\cdot(1-2)-2\cdot(0-2)+1\cdot(0-1)=1\cdot(-1)-2\cdot(-2)+1\cdot(-1)=-1+4-1=2.
Portanto \det(A)=2.
  • Agora os cofatores C_{ij}. Calcular todos os menores e aplicar os sinais:
\begin{array}{llll} M_{11}=\det\begin{bmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=1-2=-1,& C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-1,\\[6pt] M_{12}=\det\begin{bmatrix}0&2\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=0-2=-2,& C_{12}=(-1)^{3}(-2)=2,\\[6pt] M_{13}=\det\begin{bmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=0-1=-1,& C_{13}=(-1)^{4}(-1)=-1,\\[6pt] M_{21}=\det\begin{bmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=2-1=1,& C_{21}=(-1)^{3}\cdot1=-1,\\[6pt] M_{22}=\det\begin{bmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=1-1=0,& C_{22}=0,\\[6pt] M_{23}=\det\begin{bmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{bmatrix}=1-2=-1,& C_{23}=(-1)^{5}(-1)=1,\\[6pt] M_{31}=\det\begin{bmatrix}2&1\\[2pt]1&2\end{bmatrix}=4-1=3,& C_{31}=(-1)^{4}\cdot3=3,\\[6pt] M_{32}=\det\begin{bmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{bmatrix}=2-0=2,& C_{32}=(-1)^{5}\cdot2=-2,\\[6pt] M_{33}=\det\begin{bmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{bmatrix}=1-0=1,& C_{33}=1. \end{array}
Assim a matriz de cofatores é
\mathrm{Cof}(A)=\begin{bmatrix}-1 & 2 & -1\\[4pt]-1 & 0 & 1\\[4pt]3 & -2 & 1\end{bmatrix}.
  • A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}A=\big(\mathrm{Cof}(A)\big)^{T}= \begin{bmatrix}-1 & -1 & 3\\[4pt]2 & 0 & -2\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{bmatrix}.
  • Finalmente, o produto A\cdot(\operatorname{adj}A). Multiplicando (calcule cada entrada):
A\cdot(\operatorname{adj}A)= \begin{bmatrix}1&2&1\\[4pt]0&1&2\\[4pt]1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & -1 & 3\\[4pt]2 & 0 & -2\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
Cada entrada diagonal deu 2 (igual a \det(A)) e as fora da diagonal deram 0, logo o produto é 2\cdot I_{3}.]

Passo 6

Conclusão final (ressaltando como usar isso numa prova curta).
  • A prova geral foi feita mostrando que, para todo i,j\), \[\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}C_{jk}= \begin{cases} \det(A), & i=j,\\[4pt] 0, & i\neq j, \end{cases}
o que implica A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\,I_{n}\]. - Na prática de prova: explique a identidade das somas com desenvolvimento por cofatores e use o argumento da matriz com duas linhas iguais para o caso \(i\neq j. Em 3 a 5 linhas isso já está corretamente justificado para uma avaliação.
- Verificação numérica com a matriz A mostrou \det(A)=2 e A\cdot(\operatorname{adj}A)=2I_{3}, conferindo o resultado.]

Resposta

A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
Para a matriz dada A: \det(A)=2 e A\cdot(\operatorname{adj}A)=2\cdot I_{3}.

Exercícios relacionados