Mostre que a multiplicação da matriz por sua adjunta resulta no seu determinante multiplicado pela matriz identidade. Exemplo: A \cdot(\operatorname{adj} A)=\operatorname{det}(A) \cdot I_{n}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Foi dada a instrução: mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n,
A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
Foram fornecidas várias matrizes (A,B,C,D), mas a tarefa é provar a identidade geral indicada (o enunciado usa A como exemplo).
Informação relevante que temos: definição de matriz adjunta (adjugate) e determinante serão necessárias; além disso, para conferir na prática, usarei a matriz
Menor de \,A: para uma matriz quadrada A=(a_{ij})_{n\times n}, o menor associado à entrada a_{ij} é o determinante da matriz que se obtém de A ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Denotamos esse menor por M_{ij}.
Cofator de a_{ij}: define-se
C_{ij}=(-1)^{\,i+j}M_{ij}.
Isso coloca um sinal alternado em cada menor.
Matriz de cofatores (ou comatriz): é a matriz \mathrm{Cof}(A) = (C_{ij})_{n\times n}.
Caso i\neq j. Considere a matriz A^{(j\leftarrow i)} obtida a partir de A substituindo a j-ésima linha pela i-ésima (ou seja, a linha j torna-se igual à linha i, enquanto as outras linhas permanecem iguais). Ao desenvolver o determinante de A^{(j\leftarrow i)} pela linha j obtém-se
\det\big(A^{(j\leftarrow i)}\big)=\sum_{k=1}^{n} (\text{entrada da linha }j\text{, coluna }k\text{ em }A^{(j\leftarrow i)})\;C_{jk}.
Mas nessa matriz a linha j é igual à linha i de A, portanto a entrada da linha j, coluna k em A^{(j\leftarrow i)} é a_{ik}. Assim
ou seja, a matriz A\cdot(\operatorname{adj}A)\] é a matriz diagonal com \(\det(A) em cada diagonal — isto é,
A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
Comentário de exame: esse raciocínio é o caminho mais direto em prova. A ideia-chave é reconhecer a soma \sum_k a_{ik}C_{jk} como expansão de um determinante (quando i=j é o próprio \det(A); quando i\neq j é o determinante de uma matriz com duas linhas iguais, portanto zero).]
Passo 5
Verificação concreta com a matriz A fornecida — calcular \det(A), a adjunta \operatorname{adj}A e o produto para checar numericamente.
Primeiro calculemos \det(A). Pela fórmula para 3\times3,
Cada entrada diagonal deu 2 (igual a \det(A)) e as fora da diagonal deram 0, logo o produto é 2\cdot I_{3}.]
Passo 6
Conclusão final (ressaltando como usar isso numa prova curta).
A prova geral foi feita mostrando que, para todo i,j\),
\[\big(A\cdot(\operatorname{adj}A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}C_{jk}= \begin{cases} \det(A), & i=j,\\[4pt] 0, & i\neq j, \end{cases}
o que implica A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\,I_{n}\].
- Na prática de prova: explique a identidade das somas com desenvolvimento por cofatores e use o argumento da matriz com duas linhas iguais para o caso \(i\neq j. Em 3 a 5 linhas isso já está corretamente justificado para uma avaliação.
- Verificação numérica com a matriz A mostrou \det(A)=2 e A\cdot(\operatorname{adj}A)=2I_{3}, conferindo o resultado.]
Resposta
A\cdot(\operatorname{adj}A)=\det(A)\cdot I_{n}.
Para a matriz dada A: \det(A)=2 e A\cdot(\operatorname{adj}A)=2\cdot I_{3}.