Dada as matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
Calcule o determinante de cada uma das matrizes utilizando o desenvolvimento de Laplace.

Passo 1

Fornecem-se as matrizes
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 1 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 3 & 4\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1\\[4pt]3 & 0 & 2\\[4pt]4 & -3 & 7\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}3 & -1 & 5 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0 & 1\\[4pt]2 & 0 & -1 & 3\\[4pt]1 & 1 & 2 & 0\end{bmatrix}.
O que é pedido: calcular o determinante de cada uma dessas matrizes utilizando o desenvolvimento de Laplace (expansão por menores e cofatores).]

Passo 2

Vamos recapitular a regra do desenvolvimento de Laplace (mesmo que esteja com pressa, é essencial entender bem):
  • Para uma matriz quadrada M, o menor M_{ij} é a matriz obtida ao retirar a linha i e a coluna j de M.
  • O cofator correspondente é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão de Laplace ao longo da linha i
\det(M)=\sum_{j} a_{ij}\,C_{ij}=\sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij}\det(M_{ij}).
  • Analogamente, a expansão por uma coluna j é
\det(M)=\sum_{i} a_{ij}\,(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Estratégia prática: escolher uma linha ou coluna com zeros para economizar cálculo. Sempre mostrarei os menores 2×2 ou 3×3 e usarei Laplace novamente quando for conveniente (o enunciado pede explicitamente usar Laplace).

Passo 3

Cálculo de \det(A). Observação: a segunda linha de A tem um zero, então expando por essa linha ( i=2):
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}a_{2j}\det(M_{2j}).
Os elementos da linha 2 são a_{21}=0, a_{22}=1, a_{23}=2. O termo com a_{21}=0 some. Calculemos os dois menores restantes.
Para j=2:
M_{22}=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix},\qquad \det(M_{22})=1\cdot1-1\cdot1=0.
Contribuição: (-1)^{2+2}a_{22}\det(M_{22})=+1\cdot1\cdot0=0.
Para j=3:
M_{23}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix},\qquad \det(M_{23})=1\cdot1-2\cdot1=-1.
Contribuição: (-1)^{2+3}a_{23}\det(M_{23})=(-1)\cdot2\cdot(-1)=2.
Somando as contribuições:
\det(A)=0+2=2.]

Passo 4

Cálculo de \det(B). Novamente a segunda linha de B é conveniente ( i=2): a_{21}=0, a_{22}=1, a_{23}=2. Então
\det(B)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}a_{2j}\det(M_{2j}).
O termo com a_{21}=0 some. Calculemos os outros menores.
Para j=2:
M_{22}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 4\end{bmatrix},\qquad \det(M_{22})=1\cdot4-2\cdot1=4-2=2.
Contribuição: (-1)^{2+2}a_{22}\det(M_{22})=+1\cdot1\cdot2=2.
Para j=3:
M_{23}=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 3\end{bmatrix},\qquad \det(M_{23})=1\cdot3-2\cdot1=3-2=1.
Contribuição: (-1)^{2+3}a_{23}\det(M_{23})=(-1)\cdot2\cdot1=-2.
Somando:
\det(B)=2-2=0.]

Passo 5

Cálculo de \det\text{(C)}. A segunda coluna de C tem dois zeros ( a_{12}=0, a_{22}=0), por isso é eficiente expandir pela coluna j=2:
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+2}a_{i2}\det(M_{i2}).
Os termos com i=1,2 são nulos porque a_{12}=a_{22}=0. Resta apenas i=3, com a_{32}=-3 e sinal (-1)^{3+2}=(-1)^5=-1.
Calcule o menor M_{32} (remove linha 3 e coluna 2):
M_{32}=\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 2\end{bmatrix},\qquad \det(M_{32})=2\cdot2-(-1)\cdot3=4+3=7.
Contribuição: (-1)\cdot(-3)\cdot7 = 3\cdot7=21.
Portanto
\det\text{(C)}=21.]

Passo 6

Cálculo de \det(D), matriz 4\times4. Observação: a segunda linha de D é [0,\;2,\;0,\;1], tem dois zeros; é boa para expandir por essa linha ( i=2):
\det(D)=\sum_{j=1}^{4}(-1)^{2+j}a_{2j}\det(M_{2j}).
Apenas j=2 e j=4 dão contribuição: a_{22}=2 com sinal (-1)^{4}=+1 e a_{24}=1 com sinal (-1)^{6}=+1. Logo
\det(D)=2\det(M_{22})+1\cdot\det(M_{24}).
Agora calculamos os menores 3\times3 usando Laplace também.
Menor M_{22} (remover linha 2 e coluna 2):
M_{22}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 0\\[4pt]2 & -1 & 3\\[4pt]1 & 2 & 0\end{bmatrix}.
Para este 3\times3, expando pela primeira linha (há um zero em a_{13}=0):
\det(M_{22})=3\cdot(-1)^{1+1}\det\begin{bmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & 0\end{bmatrix} +5\cdot(-1)^{1+2}\det\begin{bmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}.
Calculemos os 2\times2:
\det\begin{bmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & 0\end{bmatrix}=(-1)\cdot0-3\cdot2=-6, \qquad \det\begin{bmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}=2\cdot0-3\cdot1=-3.
Aplicando sinais:
\det(M_{22})=3\cdot(-6)+5\cdot(-1)\cdot(-3)= -18 + 15 = -3.
Menor M_{24} (remover linha 2 e coluna 4):
M_{24}=\begin{bmatrix}3 & -1 & 5\\[4pt]2 & 0 & -1\\[4pt]1 & 1 & 2\end{bmatrix}.
Para este 3\times3, expando pela segunda linha ( [2,\;0,\;-1] tem um zero):
\det(M_{24})=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}a_{2j}\det(\text{menor }2j).
Os termos são:
  • j=1: a_{21}=2, sinal (-1)^{3}=-1, menor
\begin{bmatrix}-1 & 5\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix} com determinante (-1)\cdot2-5\cdot1=-2-5=-7.
Contribuição: -1\cdot2\cdot(-7)=14.
  • j=2: a_{22}=0 -> contribui 0.
  • j=3: a_{23}=-1, sinal (-1)^{5}=-1, menor
\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix} com determinante 3\cdot1-(-1)\cdot1=3+1=4.
Contribuição: -1\cdot(-1)\cdot4=+4.
Somando:
\det(M_{24})=14+4=18.
Finalmente,
\det(D)=2\cdot\det(M_{22})+\det(M_{24})=2\cdot(-3)+18=-6+18=12.]

Resposta

\det(A)=2
\det(B)=0
\det\text{(C)}=21
\det(D)=12

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