Dada as matrizes:
Calcule o determinante de cada uma das matrizes utilizando o desenvolvimento de Laplace.
Passo 1
Fornecem-se as matrizes
O que é pedido: calcular o determinante de cada uma dessas matrizes utilizando o desenvolvimento de Laplace (expansão por menores e cofatores).]
Passo 2
Vamos recapitular a regra do desenvolvimento de Laplace (mesmo que esteja com pressa, é essencial entender bem):
- Para uma matriz quadrada
, o menor é a matriz obtida ao retirar a linha e a coluna de . - O cofator correspondente é
. - A expansão de Laplace ao longo da linha
dá
- Analogamente, a expansão por uma coluna
é
Estratégia prática: escolher uma linha ou coluna com zeros para economizar cálculo. Sempre mostrarei os menores 2×2 ou 3×3 e usarei Laplace novamente quando for conveniente (o enunciado pede explicitamente usar Laplace).
Passo 3
Cálculo de
. Observação: a segunda linha de
tem um zero, então expando por essa linha (
):
Os elementos da linha 2 são
,
,
. O termo com
some. Calculemos os dois menores restantes.
Para
:
Contribuição:
.
Para
:
Contribuição:
.
Somando as contribuições:
Passo 4
Cálculo de
. Novamente a segunda linha de
é conveniente (
):
,
,
. Então
O termo com
some. Calculemos os outros menores.
Para
:
Contribuição:
.
Para
:
Contribuição:
.
Somando:
Passo 5
Cálculo de
. A segunda coluna de
tem dois zeros (
,
), por isso é eficiente expandir pela coluna
:
Os termos com
são nulos porque
. Resta apenas
, com
e sinal
.
Calcule o menor
(remove linha 3 e coluna 2):
Contribuição:
.
Portanto
Passo 6
Cálculo de
, matriz
. Observação: a segunda linha de
é
, tem dois zeros; é boa para expandir por essa linha (
):
Apenas
e
dão contribuição:
com sinal
e
com sinal
. Logo
Agora calculamos os menores
usando Laplace também.
Menor
(remover linha 2 e coluna 2):
Para este
, expando pela primeira linha (há um zero em
):
Calculemos os
:
Aplicando sinais:
Menor
(remover linha 2 e coluna 4):
Para este
, expando pela segunda linha (
tem um zero):
Os termos são:
-
: , sinal , menor
Contribuição:
-
: -> contribui 0. -
: , sinal , menor
Contribuição:
Somando:
Finalmente,