Dada: f(x, y)=6 x^2 y-7 x^2 y^3, Obtenha:
O gradiente no ponto ( -1 ;-12 )

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=6x^2y-7x^2y^3 e pede o gradiente no ponto (-1,-tfrac12). O assunto envolve derivadas parciais e o conceito de gradiente, que é o vetor formado por elas.

Passo 2

O gradiente de uma função f(x,y) é definido como o vetor nabla f=l(partial fpartial x,partial fpartial yr). Cada componente é a derivada de f em relação a uma das variáveis, tratando a outra como constante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=partialpartial x(6x^2y-7x^2y^3)=12xy-14xy^3,
partial fpartial y=partialpartial y(6x^2y-7x^2y^3)=6x^2-21x^2y^2

Passo 4

Agora, avaliaremos essas derivadas no ponto (-1,-tfrac12). Para partial fpartial x:
partial fpartial x(-1,-tfrac12)=12cdot(-1)cdot(-tfrac12)-14cdot(-1)cdot(-tfrac12)^3=6-tfrac74=tfrac174
Para partial fpartial y:
partial fpartial y(-1,-tfrac12)=6cdot1-21cdot1cdot(tfrac12)^2=6-tfrac214=tfrac34

Passo 5

Reunindo as componentes, o gradiente no ponto (-1,-tfrac12) é nabla f(-1,-tfrac12)=l(tfrac174,tfrac34r).

Resposta

nabla f(-1,-tfrac12)=l(tfrac174,tfrac34r)

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