Dada
, o valor de
é:
a)
.
b) 0 .
c)
.
d) 1 .
a)
b) 0 .
c)
d) 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{4x^{3} - 4x + 5} $ e precisamos achar a derivada dessa função quando $ x = 1 $, ou seja, $ f’(1) $. Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembra que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência fracionária. Então:
Agora, para achar a derivada $ f’(x) $, vamos usar a regra da cadeia, que é utilizada quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ [g(x)]^{n} $ é $ n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g’(x) $.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Agora, vamos derivar o que está dentro da raiz, ou seja, $ 4x^{3} - 4x + 5 $. A derivada de cada termo é:
Então,
Passo 4
Substituindo essa derivada de volta na expressão de $ f’(x) $:
Podemos reescrever $ \left(4x^{3} - 4x + 5\right)^{-\frac{1}{2}} $ como $ \frac{1}{\sqrt{4x^{3} - 4x + 5}} $. Então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar o numerador:
Assim, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, basta substituir $ x = 1 $ na expressão de $ f’(x) $:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
E o denominador:
Então,
Resposta
A alternativa correta é a c)
.