Dada f(x)=raiz4 x^3-4 x+5, o valor de f^prime(1) é:
a) raiz5.
b) 0 .
c) 4 raiz55.
d) 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{4x^{3} - 4x + 5} $ e precisamos achar a derivada dessa função quando $ x = 1 $, ou seja, $ f’(1) $. Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembra que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência fracionária. Então:
f(x) = (4x^3 - 4x + 5)^12
Agora, para achar a derivada $ f’(x) $, vamos usar a regra da cadeia, que é utilizada quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ [g(x)]^{n} $ é $ n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g’(x) $.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
f'(x) = 12 (4x^3 - 4x + 5)^-12 cdot ddx(4x^3 - 4x + 5)
Agora, vamos derivar o que está dentro da raiz, ou seja, $ 4x^{3} - 4x + 5 $. A derivada de cada termo é:
4x^3 - 4x + 5
Então,
ddx(4x^3) = 12x^2, ddx(-4x) = -4, ddx(5) = 0

Passo 4

Substituindo essa derivada de volta na expressão de $ f’(x) $:
f'(x)
Podemos reescrever $ \left(4x^{3} - 4x + 5\right)^{-\frac{1}{2}} $ como $ \frac{1}{\sqrt{4x^{3} - 4x + 5}} $. Então:
f'(x) = 12 (4x^3 - 4x + 5)^-12 cdot (12x^2 - 4)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar o numerador:
12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1)
Assim, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, basta substituir $ x = 1 $ na expressão de $ f’(x) $:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
x = 1
E o denominador:
f'(x)
Então,
3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2

Resposta

A alternativa correta é a c) 4 raiz55.

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