Mostre que, para todo
, com
, temos que
!.
Passo 1
Enunciado: mostrar que para todo
com
vale
. O conteúdo aqui é prova por indução matemática, então vamos precisar estabelecer o passo base e o passo indutivo.
Passo 2
No passo base consideramos
. Calculamos
e
. Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Para o passo indutivo, suponha como hipótese de indução que para algum
temos
. Agora queremos mostrar que
.
Passo 4
Observe que
e
. Pela hipótese de indução
, logo
Passo 5
Como
implica
, temos
. Logo
Passo 6
Portanto
, completando o passo indutivo.
Resposta
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio de indução, conclui-se que
para todo
.