Mostre que, para todo n in N, com n >= 4, temos que 2^n!.

Passo 1

Enunciado: mostrar que para todo ninN com n>=4 vale 2^n. O conteúdo aqui é prova por indução matemática, então vamos precisar estabelecer o passo base e o passo indutivo.

Passo 2

No passo base consideramos n=4. Calculamos 2^4=16 e 4!=24. Como 16<24, a desigualdade vale para n=4.

Passo 3

Para o passo indutivo, suponha como hipótese de indução que para algum k>=4 temos 2^k. Agora queremos mostrar que 2^k+1<(k+1)!.

Passo 4

Observe que 2^k+1=2cdot2^k e (k+1)!=(k+1)cdot k!. Pela hipótese de indução 2^k, logo
2^k+1=2cdot2^k<2cdot k!

Passo 5

Como k>=4 implica k+1>=5, temos 2. Logo
2cdot k!<(k+1)cdot k!=(k+1)!

Passo 6

Portanto 2^k+1<(k+1)!, completando o passo indutivo.

Resposta

Pela base e pelo passo indutivo, por princípio de indução, conclui-se que 2^n para todo n>=4.

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