Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d)
(Resp.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma Equação Diferencial de Segunda Ordem com condições iniciais. Vamos precisar conhecer as regras da Transformada de Laplace para derivadas e como aplicá-las para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Passo 3
Lembrando que a Transformada de Laplace para derivadas é:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo na equação:
Passo 5
Sabemos que
e
, então substituindo esses valores:
Simplificando:
Passo 6
Fatorando
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
. Usando a fórmula da Transformada de Laplace para
:
Aqui,
e
, então:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Isolando
:
Passo 9
Para simplificar, completamos o quadrado no denominador
:
E para
:
Passo 10
Agora, reescrevemos
com os denominadores completados:
Passo 11
Vamos usar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso ao primeiro termo:
Passo 12
Para o segundo termo, podemos decompor em frações parciais ou reconhecer que ele representa uma combinação linear de funções seno com diferentes frequências. Eventualmente, após os cálculos, encontramos:
Passo 13
Somando os dois resultados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: