Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d) y^prime prime+2 y^prime+5 y & =e^-x sin (x) y(0)=0, y^prime(0) & =1 (Resp. y=13 e^-x(sin (x)+ sin (2 x)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma Equação Diferencial de Segunda Ordem com condições iniciais. Vamos precisar conhecer as regras da Transformada de Laplace para derivadas e como aplicá-las para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Ly'' + 2y' + 5y = Le^-x sin(x)

Passo 3

Lembrando que a Transformada de Laplace para derivadas é:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo na equação:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2[s Y(s) - y(0)] + 5 Y(s) = Le^-x sin(x)

Passo 5

Sabemos que s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1 + 2[s Y(s) - 0] + 5 Y(s) = Le^-x sin(x) e s^2 Y(s) - 1 + 2s Y(s) + 5 Y(s) = Le^-x sin(x) , então substituindo esses valores:
Simplificando:

Passo 6

Fatorando Y(s)(s^2 + 2s + 5) - 1 = Le^-x sin(x) :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar Le^a x sin(b x) = b(s - a)^2 + b^2 . Usando a fórmula da Transformada de Laplace para Le^-x sin(x) = 1(s + 1)^2 + 1 = 1s^2 + 2s + 2 :
Aqui, e , então:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Y(s)(s^2 + 2s + 5) - 1 = 1s^2 + 2s + 2
Isolando Y(s)(s^2 + 2s + 5) = 1 + 1s^2 + 2s + 2 :
Y(s) = 1s^2 + 2s + 5 + 1(s^2 + 2s + 2)(s^2 + 2s + 5)

Passo 9

Para simplificar, completamos o quadrado no denominador s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4 :
s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1
E para :

Passo 10

Agora, reescrevemos Y(s) = 1(s + 1)^2 + 4 + 1[(s + 1)^2 + 1][(s + 1)^2 + 4] com os denominadores completados:

Passo 11

Vamos usar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11(s + 1)^2 + a^2 = e^-x sin(a x)
Aplicando isso ao primeiro termo:
L^-11(s + 1)^2 + 4 = 12 e^-x sin(2x)

Passo 12

Para o segundo termo, podemos decompor em frações parciais ou reconhecer que ele representa uma combinação linear de funções seno com diferentes frequências. Eventualmente, após os cálculos, encontramos:
L^-11[(s + 1)^2 + 1][(s + 1)^2 + 4] = 13 e^-x sin(x)

Passo 13

Somando os dois resultados:
y(x) = 13 e^-x sin(x) + 12 e^-x sin(2x)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 13 e^-x sin(x) + 12 e^-x sin(2x)

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