Para uma dada onda senoidal de intensidade I, a amplitude do campo magnético é igual a B. Qual seria a amplitude (em termos de B ) em uma onda semelhante com o dobro da intensidade?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: uma onda senoidal tem intensidade \,I\, e a amplitude do campo magnético dessa onda é \,B\,.
  • Informação implícita: existe uma onda “semelhante” (mesmo tipo, mesma frequência/condições) cuja intensidade é o dobro da primeira; ou seja, a nova intensidade é \,I' = 2I\,.
  • Pergunta que precisa ser respondida: qual é a amplitude do campo magnético na nova onda, expressa em termos de \,B\,?

Passo 2

Conceito-chave que precisamos: a intensidade média (potência por unidade de área) de uma onda eletromagnética plana em vácuo é proporcional ao quadrado da amplitude do campo (tanto do campo elétrico quanto do magnético). Vou explicar isso devagarinho.
  • Definições das grandezas envolvidas:
    • \,E_0\, é a amplitude (valor de pico) do campo elétrico.
    • \,B_0\, é a amplitude (valor de pico) do campo magnético — no enunciado esse é \,B\,.
    • \,I\, é a intensidade média da onda (magnitude média do vetor de Poynting).
    • \,c\, é a velocidade da luz no vácuo.
    • \,\mu_0\, é a permeabilidade magnética do vácuo.
  • Relação entre E_0 e B_0 em uma onda plana em vácuo:
    E_0 = c\,B_0.
    Isso vem das equações de Maxwell para uma onda viajando no vácuo: o campo elétrico e o magnético têm amplitudes relacionadas pela velocidade da luz.
  • Expressão da intensidade média (valor médio do vetor de Poynting) para a onda senoidal:
    I = \frac{1}{2}\,E_0\,H_0,
    onde \,H_0\, é a amplitude do campo magnético em unidades de \,A/m. Mas como \,H_0 = \dfrac{B_0}{\mu_0}\,, substituindo obtemos
    I = \frac{1}{2}\,E_0\,\frac{B_0}{\mu_0}.
    Agora substituímos \,E_0 = c B_0\,:
    I = \frac{1}{2}\,\frac{c}{\mu_0}\,B_0^{2}.
  • Conclusão útil: para ondas semelhantes em vácuo a constante \dfrac{1}{2}\dfrac{c}{\mu_0} é a mesma, então podemos resumir a relação importante
    I \propto B_0^{2}.
    Em palavras: a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do campo magnético.

Passo 3

Agora usamos essa proporcionalidade para comparar as duas ondas (a original e a de intensidade dobrada).
  • Escrevo a intensidade original com uma constante de proporcionalidade k:
    I = k\,B^{2},
    onde \,B\, é a amplitude original ( B_0=B) e k=\dfrac{1}{2}\dfrac{c}{\mu_0} (o valor exato de k não é necessário para esta comparação).
  • Para a nova onda, com intensidade \,I' = 2I\,, a amplitude do campo magnético será \,B'\, e vale
    I' = k\,{B'}^{2}.

Passo 4

Faço a divisão entre as duas expressões para eliminar k e I:
  • Substituindo I' = 2I nas equações:
    2I = k\,{B'}^{2} \quad\text{e}\quad I = k\,B^{2}.
  • Dividindo termo a termo:
    \frac{2I}{I} = \frac{k\,{B'}^{2}}{k\,B^{2}} \quad\Rightarrow\quad 2 = \frac{{B'}^{2}}{B^{2}}.
  • Tirando raiz quadrada em ambos os lados (apenas consideramos a raiz positiva porque estamos falando de amplitude magnitudes):
    \frac{B'}{B} = \sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad B' = \sqrt{2}\,B.

Passo 5

Interpretação prática e checagem rápida:
  • Se a intensidade dobra, a amplitude do campo magnético aumenta por um fator \sqrt{2}\approx 1{,}414.
  • Exemplo numérico rápido: se \,B=1{,}0\times 10^{-6}\,\text{T}, então \,B'=\sqrt{2}\times 1{,}0\times 10^{-6}\,\text{T}\approx 1{,}414\times 10^{-6}\,\text{T}.
Força! Você já viu a ideia principal: intensidade vai como amplitude ao quadrado — dobrar a intensidade significa multiplicar a amplitude por \sqrt{2}.

Resposta

B'=\sqrt{2}\,B

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