Pergunta 1 (1 ponto)

Um termômetro de mercúrio possui um bulbo de vidro com volume interno de 1,5 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{e} está totalmente preenchido com mercúrio à temperatura inicial de 10^{\circ} \mathrm{C}.
O tubo capilar (onde o mercúrio sobe) tem uma área de seção transversal constante de 0,001 \mathrm{~cm}^{2}.
Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear do vidro é de 9,0.10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e o colecifiente de dilatação volumétrico do mercúrio é de 182,0.10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.
Se a temperatura do termômetro aumentar para 50^{\circ} \mathrm{C}, determine a altura que o termômetro atingirá no tubo capilar.
\bigcirc 9,3 \mathrm{~cm}
\bigcirc 10,9 \mathrm{~cm}
\bigcirc 10,4 \mathrm{~cm}
\bigcirc 1,6 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a altura que o mercúrio alcançará no tubo capilar quando a temperatura subir de 10^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
V_{0}=1{,}5\\ \mathrm{cm}^3
\text{área do capilar }A=0{,}001\\ \mathrm{cm}^2á
\alpha_{\text{vidro}}=9{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
\beta_{\text{Hg}}=182{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
Temperatura inicial 10^\circ\mathrm{C} e final 50^\circ\mathrm{C}, portanto a variação de temperatura é
\Delta T=50^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=40^\circ\mathrm{C}.
Observação importante do enunciado: o bulbo está totalmente preenchido com mercúrio à temperatura inicial (ou seja, o volume inicial do mercúrio é V_0 do bulbo).

Passo 2

Conceito usado: dilatação volumétrica. Para um líquido (ou um corpo em geral) a variação de volume é dada por
\Delta V=\beta\,V_0\,\Delta T,
onde \Delta V é a variação de volume, \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}), V_0 é o volume inicial e \Delta T é a variação de temperatura. Aqui vamos aplicar essa fórmula ao mercúrio para obter quanto volume o mercúrio “ganha” ao aquecer.
Calculemos a variação de volume do mercúrio:
\beta_{\text{Hg}}=182{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
\Delta V_{\text{Hg}}=\beta_{\text{Hg}}\,V_0\,\Delta T
\Delta V_{\text{Hg}}=(182{,}0\times10^{-6})\cdot(1{,}5)\cdot(40).
Agora os cálculos passo a passo:
(182{,}0\times10^{-6})\cdot(1{,}5)=273{,}0\times10^{-6}=2{,}73\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3/^\circ\mathrm{C}
\Delta V_{\text{Hg}}=2{,}73\times10^{-4}\cdot40=1{,}092\times10^{-2}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

O bulbo de vidro também aumenta de volume com a temperatura, o que cria espaço extra para o mercúrio; esse efeito reduz o volume que sobe pelo capilar. Para sólidos isotrópicos (como o vidro) a dilatação volumétrica é aproximadamente
\beta_{\text{vidro}}\approx 3\alpha_{\text{vidro}},
onde \alpha_{\text{vidro}} é o coeficiente de dilatação linear. Aqui \alpha_{\text{vidro}}=9{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, portanto
\beta_{\text{vidro}}=3\cdot(9{,}0\times10^{-6})=27{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Agora calculamos a variação de volume do bulbo de vidro:
\Delta V_{\text{bulbo}}=\beta_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T
\Delta V_{\text{bulbo}}=(27{,}0\times10^{-6})\cdot(1{,}5)\cdot(40).
Cálculos:
(27{,}0\times10^{-6})\cdot(1{,}5)=40{,}5\times10^{-6}=4{,}05\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^3/^\circ\mathrm{C}
\Delta V_{\text{bulbo}}=4{,}05\times10^{-5}\cdot40=1{,}62\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

O volume adicional de mercúrio que efetivamente sobe pelo capilar é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento do volume interno do bulbo:
\Delta V_{\text{líquido\\ que\\ sobe}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{bulbo}}.í
Substituindo os valores:
\Delta V_{\text{líquido\\ que\\ sobe}}=1{,}092\times10^{-2}-1{,}62\times10^{-3}=9{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}^3.í

Passo 6

Ligação entre volume e altura no capilar: o volume que sobe ocupa um cilindro de base igual à área do capilar A e altura h; assim
\Delta V_{\text{líquido\\ que\\ sobe}=}A\cdot h.í
Logo a altura é
h=\frac{\Delta V_{\text{líquido\\ que\\ sobe}}}{A}.í
Usando \Delta V_{\text{líquido\\ que\\ sobe}}=9{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}^3í e A=0{,}001\\ \mathrm{cm}^2,
h=\frac{9{,}30\times10^{-3}}{0{,}001}=9{,}30\\ \mathrm{cm}.

Resposta

9{,}3\\ \mathrm{cm}

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