Duas placas de vidro tocam-se ao longo de apenas uma das bordas. Uma luz de comprimento de onda de 480 nm incide perpendicularmente e é refletida pela superfície inferior da placa de cima e pela superfície superior da placa de baixo, produzindo uma série de franjas de interferência. Qual é a variação da distância entre as placas do ponto onde é observada a sexta franja até o ponto em que é observada a décima sexta franja?

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede, sem resolver nada ainda.
  • Temos duas placas de vidro que se tocam apenas numa borda, formando um folga em forma de cunha (um filme de ar cuja espessura t varia com a distância ao ponto de contato).
  • Uma luz de comprimento de onda \lambda = 480\\ \text{nm} incide perpendicularmente às placas.
  • A luz é refletida pela superfície inferior da placa de cima e pela superfície superior da placa de baixo (ou seja, são as duas superfícies do filme de ar que produzem as interferências).
  • Observa-se uma série de franjas de interferência ao longo da cunha.
  • Pergunta: qual é a variação da distância entre as placas (ou seja, a diferença na espessura do filme de ar t) entre o ponto onde aparece a sexta franja e o ponto onde aparece a décima sexta franja?

Passo 2

Entendendo as reflexões e as inversões de fase (conceito necessário e obrigatório aqui).
  • Regra importante sobre inversão de fase ao refletir: quando uma onda se reflete numa interface indo de um meio de menor índice de refração para um meio de maior índice, a reflexão sofre uma inversão de fase de \pi (meio mais denso); quando reflete de um meio mais denso para um menos denso, não há inversão.
  • No nosso caso as duas reflexões relevantes são:
    • reflexão na superfície inferior da placa de cima: aqui a luz dentro do vidro encontra o ar (reflexão de mais denso para menos denso) → NÃO há inversão;
    • reflexão na superfície superior da placa de baixo: aqui a luz no ar encontra o vidro (reflexão de menos denso para mais denso) → HÁ inversão de fase de \pi.
  • Conclusão prática: entre os dois raios refletidos existe uma diferença de fase adicional equivalente a meio comprimento de onda ( \lambda/2) devido a essa única inversão de fase.

Passo 3

Determinar a diferença de caminho óptico entre os dois raios (conceito e fórmula).
  • O raio que penetra no filme de ar atravessa a espessura t, chega à superfície inferior da placa de baixo e volta; assim a diferença geométrica de percurso dentro do ar entre os dois raios é duas vezes a espessura: 2t.
  • Como o meio é ar, o índice refrativo é n\approx1, então a diferença de caminho óptico é simplesmente 2t.
  • Além disso, como vimos, há uma diferença de fase adicional equivalente a \lambda/2 (meio comprimento de onda) pela inversão de fase em uma das reflexões.
  • Portanto, a diferença de fase total (em unidades de comprimento) entre os dois raios é equivalente a
\text{OPD}_{\text{total}} = 2t + \frac{\lambda}{2}.

Passo 4

Condições de interferência (quando há franjas claras ou escuras).
  • Interferência construtiva (franja brilhante) ocorre quando a diferença de fase total corresponde a um número inteiro m de comprimentos de onda:
2t + \frac{\lambda}{2} = m\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2t = \left(m-\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
  • Interferência destrutiva (franja escura) ocorre quando a diferença de fase total corresponde a um número ímpar de meias-ondas, isto é:
2t + \frac{\lambda}{2} = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2t = m\lambda.
  • Observação útil: para as franjas de mesma natureza (todas escuras ou todas claras) a espessura correspondente ao m-ésimo máximo/minimo aumenta linearmente com m. Em particular, para franjas escuras temos
t_m = \frac{m\lambda}{2},
e para franjas claras (usando outro índice inteiro) a diferença entre duas franjas quaisquer também acaba sendo múltiplo de \lambda/2.
  • Portanto, a separação em espessura entre duas franjas consecutivas (sejam claras ou escuras) é
\Delta t_{\text{entre vizinhas}} = \frac{\lambda}{2}.
E, em geral, entre duas franjas da mesma série com índices m_1 e m_2,
\Delta t = \frac{(m_2-m_1)\lambda}{2}.

Passo 5

Aplicando ao caso pedido (sexta para décima sexta franja).
  • O enunciado pede a variação da distância entre as placas entre a sexta e a décima sexta franja. Isso significa que entre as duas franjas há uma diferença de 16-6=10 ordens.
  • Usando a fórmula geral para duas franjas da mesma série:
\Delta t = \frac{(m_2-m_1)\lambda}{2} = \frac{10\lambda}{2} = 5\lambda.
  • Note que não precisamos saber se as franjas numeradas são claras ou escuras: a diferença de espessura entre a 6ª e a 16ª (da mesma série de franjas) depende só do número de franjas entre elas e é 5\lambda.

Passo 6

Cálculo numérico final com unidades.
  • Substituindo \lambda = 480\\ \text{nm} = 480\times10^{-9}\\ \text{m},
\Delta t = 5\lambda = 5\times 480\\ \text{nm} = 2400\\ \text{nm}.
  • Em unidades mais usuais:
2400\\ \text{nm} = 2{,}4\times10^{-6}\\ \text{m} = 2{,}4\\ \mu\text{m}.

Resposta

2{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
2{,}4\\ \mu\mathrm{m}

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