1. É dada uma pirâmide de base quadrada. A altura é de 9 cm e o seu volume é 108 \mathrm{~cm}^{3}. Calcular a área total da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base quadrada com as seguintes informações:
  • A altura da pirâmide é \,9\\ \mathrm{cm}.
  • O volume da pirâmide é \,108\\ \mathrm{cm}^3.
    A pergunta é: calcular a área total da pirâmide (ou seja, a área da base mais a área lateral).

Passo 2

Entender a fórmula do volume de uma pirâmide e como aplicá‑la aqui.
A fórmula do volume de qualquer pirâmide é
V=\frac{1}{3}\,A_{\text{base}}\,h,
onde:
  • V é o volume,
  • A_{\text{base}} é a área da base,
  • h é a altura (a perpendicular do vértice ao plano da base).
No nosso caso a base é um quadrado, então se chamarmos o lado do quadrado de \,s, temos
A_{\text{base}}=s^2.

Passo 3

Usar o volume dado para achar o lado \,s da base. Substituímos na fórmula:
108=\frac{1}{3}\,s^2\cdot 9.
Agora fazemos as contas passo a passo:
\frac{1}{3}\cdot 9 = 3,
logo
108 = 3\,s^2.
Dividindo ambos os lados por 3,
s^2 = \frac{108}{3} = 36.
Tirando a raiz quadrada positiva (lado é positivo),
s = \sqrt{36} = 6\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a área da base agora que sabemos s.
A área da base é
A_{\text{base}}=s^2=6^2=36\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Explicar como calcular a área lateral da pirâmide de base quadrada.
A área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. Cada face triangular tem base s e altura igual à altura inclinada do triângulo (chamada de altura lateral ou geratriz, que vou chamar de \ell). A área de um triângulo é \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Como há quatro triângulos idênticos, a área lateral total é
A_{\text{lateral}} = 4\cdot\frac{1}{2}\,s\,\ell = 2s\ell.
Outra forma equivalente (útil para lembrar) é
A_{\text{lateral}}=\frac{1}{2}\,P_{\text{base}}\,\ell,
onde P_{\text{base}}=4s é o perímetro da base, e isso dá \tfrac{1}{2}\cdot 4s\cdot\ell=2s\ell.

Passo 6

Determinar a geratriz \ell (slant height).
A geratriz é o segmento do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base. Se olharmos no corte vertical que passa pelo vértice e pelo centro da base perpendicular a um lado, obtemos um triângulo retângulo com catetos:
  • a altura da pirâmide h=9\\ \mathrm{cm},
  • metade do lado da base \tfrac{s}{2}=\tfrac{6}{2}=3\\ \mathrm{cm}.
    Pelo Teorema de Pitágoras (num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos), temos
\ell = \sqrt{h^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2}.
Substituindo os valores:
\ell = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81+9} = \sqrt{90}.
Simplificando \sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}. Portanto
\ell = 3\sqrt{10}\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Calcular a área lateral usando A_{\text{lateral}}=2s\ell. Substituímos s=6 e \ell=3\sqrt{10}:
A_{\text{lateral}} = 2\cdot 6 \cdot 3\sqrt{10} = 12\cdot 3\sqrt{10} = 36\sqrt{10}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 8

Calcular a área total somando a base e a lateral:
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 36 + 36\sqrt{10}.
Fatorando 36,
A_{\text{total}} = 36\bigl(1+\sqrt{10}\bigr)\\ \mathrm{cm}^2.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{10}\approx 3{,}1623, então
A_{\text{total}}\approx 36\cdot 4{,}1623 \approx 149{,}84\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

36\bigl(1+\sqrt{10}\bigr)\\ \mathrm{cm}^2
\approx 149{,}84\\ \mathrm{cm}^2

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