- É dada uma pirâmide de base quadrada. A altura é de 9 cm e o seu volume é
. Calcular a área total da pirâmide.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide de base quadrada com as seguintes informações:
- A altura da pirâmide é
. - O volume da pirâmide é
.
A pergunta é: calcular a área total da pirâmide (ou seja, a área da base mais a área lateral).
Passo 2
Entender a fórmula do volume de uma pirâmide e como aplicá‑la aqui.
A fórmula do volume de qualquer pirâmide é
A fórmula do volume de qualquer pirâmide é
onde:
-
é o volume, -
é a área da base, -
é a altura (a perpendicular do vértice ao plano da base).
No nosso caso a base é um quadrado, então se chamarmos o lado do quadrado de
, temos
Passo 3
Usar o volume dado para achar o lado
da base. Substituímos na fórmula:
Agora fazemos as contas passo a passo:
logo
Dividindo ambos os lados por
,
Tirando a raiz quadrada positiva (lado é positivo),
Passo 4
Calcular a área da base agora que sabemos
.
A área da base é
A área da base é
Passo 5
Explicar como calcular a área lateral da pirâmide de base quadrada.
A área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. Cada face triangular tem base e altura igual à altura inclinada do triângulo (chamada de altura lateral ou geratriz, que vou chamar de
). A área de um triângulo é
. Como há quatro triângulos idênticos, a área lateral total é
A área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. Cada face triangular tem base
Outra forma equivalente (útil para lembrar) é
onde
é o perímetro da base, e isso dá
.
Passo 6
Determinar a geratriz
(slant height).
A geratriz é o segmento do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base. Se olharmos no corte vertical que passa pelo vértice e pelo centro da base perpendicular a um lado, obtemos um triângulo retângulo com catetos:
A geratriz é o segmento do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base. Se olharmos no corte vertical que passa pelo vértice e pelo centro da base perpendicular a um lado, obtemos um triângulo retângulo com catetos:
- a altura da pirâmide
, - metade do lado da base
.
Pelo Teorema de Pitágoras (num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos), temos
Substituindo os valores:
Simplificando
. Portanto
Passo 7
Calcular a área lateral usando
. Substituímos
e
:
Passo 8
Calcular a área total somando a base e a lateral:
Fatorando
,
Se quiser uma aproximação numérica,
, então