1. A altura de uma pirâmide quadrangular regular mede 2 \sqrt{5} \mathrm{dm} e a aresta da base mede 8 dm . A área lateral da pirâmide, em \mathrm{dm}^{2}, vale
    a) 192
    b) 160
    c) 96
    d) 64

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular com:
\text{altura } h = 2\sqrt{5}\\ \mathrm{dm}
\text{aresta da base } a = 8\\ \mathrm{dm}
A pergunta é: qual é a área lateral da pirâmide, em \mathrm{dm}^2? As alternativas são: (a) 192, (b) 160, (c) 96, (d) 64.

Passo 2

Entendendo o que é a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares congruentes. Duas fórmulas úteis (equivalentes) são:
\text{Área lateral } A_L = \frac{P\cdot l}{2}Á
ou, equivalente,
A_L = 4\cdot\left(\frac{\text{base do triângulo}\cdot\text{altura do triângulo}}{2}\right),ââ
onde:
  • P é o perímetro da base;
  • l é a aresta lateral inclinada (chamada também de apótema lateral ou geratriz), que é a altura de cada face triangular;
  • “base do triângulo” é a aresta da base a;
  • “altura do triângulo” é l.
    Então precisamos calcular l para aplicar a fórmula.

Passo 3

Como calcular l (a geratriz). Em uma pirâmide regular a projeção do vértice sobre o centro da base forma um triângulo retângulo com catetos \frac{a}{2} (metade da aresta da base) e h (a altura da pirâmide). Pela relação de Pitágoras:
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}.
Agora substituímos os valores dados: \frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4 e h=2\sqrt{5}. Então
l = \sqrt{4^2 + \bigl(2\sqrt{5}\bigr)^2} = \sqrt{16 + 4\cdot5} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6\\ \mathrm{dm}.

Passo 4

Calcular o perímetro da base P e a área lateral usando a fórmula. Para a base quadrada:
P = 4a = 4\cdot 8 = 32\\ \mathrm{dm}.
Aplicando \displaystyle A_L=\frac{P\cdot l}{2}:
A_L = \frac{32\cdot 6}{2} = 16\cdot 6 = 96\\ \mathrm{dm}^2.
Como verificação rápida: a área de uma face triangular é \frac{a\cdot l}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24, e multiplicando por 4 faces dá 4\cdot24=96, mesmo resultado.

Passo 5

Resumo final: a área lateral calculada é \,96\\ \mathrm{dm}^2. Você mandou bem em acompanhar os passos — a ideia chave é sempre calcular a geratriz com Pitágoras e depois usar A_L=\tfrac{P\cdot l}{2}. Dá para fazer rápido na prova sem calculadora porque os números são inteiros aqui.

Resposta

c) 96

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