- Em uma pirâmide regular com 12 cm de altura, tendo como base um quadrado de lado 10 cm , a área lateral é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede a área lateral de uma pirâmide regular cuja base é um quadrado. Informações dadas: a altura da pirâmide é
e o lado do quadrado da base é
. As alternativas são:
a) b)
c)
d)
.
O que precisamos calcular: a área lateral total (a soma das áreas das faces triangulares laterais).
a)
O que precisamos calcular: a área lateral total (a soma das áreas das faces triangulares laterais).
Passo 2
Entendendo a geometria de uma pirâmide regular: em uma pirâmide regular com base quadrada as quatro faces laterais são quatro triângulos congruentes isósceles. Para achar a área lateral total podemos calcular a área de uma dessas faces e multiplicar por quatro. Cada face lateral tem como base o lado do quadrado e como “altura do triângulo” a chamada altura inclinada ou altura lateral (slant height), que vou chamar de
.
Passo 3
Definição e como obter a altura lateral
: a altura
da pirâmide (vertical) forma com a metade do lado da base um triângulo retângulo cujo cateto vertical é
e cujo outro cateto é a distância do centro da base até o ponto médio de um lado. Em uma base quadrada de lado
, essa distância é
. Vou justificar isso brevemente: o centro do quadrado está à mesma distância dos quatro pontos médios dos lados por simetria; tomando coordenadas com o centro na origem e lados paralelos aos eixos, um dos pontos médios tem coordenada
, cuja distância até a origem é
.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: o lado do quadrado é
, portanto a distância do centro ao ponto médio de um lado é
Passo 5
Agora uso o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, pela metade do lado da base e pela altura lateral
. O Teorema de Pitágoras diz que, para um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
, vale
No nosso caso
,
e
. Então
Logo
Passo 6
Área de uma face lateral (triângulo isósceles): a fórmula da área de um triângulo é
Aqui a base é o lado do quadrado
e a altura do triângulo é a altura lateral
. Então a área de uma face é
Passo 7
Área lateral total: são quatro faces congruentes, então
Observação rápida (método alternativo): a fórmula geral para área lateral de uma pirâmide é
. Aqui o perímetro do quadrado é
, então
, que dá o mesmo resultado.
Resposta
b)