4.3-2 Resolva as equações diferenciais do Prob. 4.3-1 usando a transformada de Laplace. Para cada caso, determine as componentes de entrada nula e estado nulo da solução.
Passo 1
O enunciado refere-se ao “Prob. 4.3-1”, mas esse problema não foi enviado aqui. Portanto não tenho as equações diferenciais, as condições iniciais nem as entradas que aparecem no Prob. 4.3-1. Sem esses dados específicos não é possível calcular soluções numéricas ou simbólicas particulares para os itens pedidos.
Vou, no entanto, resolver o impasse de modo útil para você: primeiro explico passo a passo e com detalhes didáticos o método da transformada de Laplace para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, incluindo como separar a solução em componente de entrada nula (zero-input) e componente de estado nulo (zero-state). Em seguida eu mostro dois exemplos completos, bem mastigados, que você poderá aplicar diretamente aos exercícios do seu professor substituindo os coeficientes, condições iniciais e entradas do seu Prob. 4.3-1. Assim você aprende o procedimento exato que precisa usar na prova. Vou ser detalhista e simpático — prometo que fica menos torturante do que parece.
Passo 2
O tipo de equação que vamos tratar é a equação diferencial linear de ordem
com coeficientes constantes e entrada
:
Aqui cada
e
é um número real;
denota a
-ésima derivada de
em relação a
; e
é a entrada (por exemplo um degrau, seno, rampa etc.). As condições iniciais são os valores
.
O objetivo: achar
para
, e decompor
em duas partes:
- componente de entrada nula (zero-input): resposta devido apenas às condições iniciais, com
; - componente de estado nulo (zero-state): resposta devido apenas à entrada, com todas as condições iniciais nulas.
Passo 3
Regra fundamental da transformada de Laplace para derivadas. Se
, então, para
,
Explicando com calma: transformar uma derivada vira uma potência de
multiplicando
mais termos que envolvem as condições iniciais. Esse é o truque que permite separar efeito da entrada e efeito das condições iniciais.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira. Tomando
nos dois lados da equação diferencial do Passo 2 (assumindo condições de existência), obtemos uma equação algébrica em
:
onde
é o polinômio característico do sistema,
é o polinômio que multiplica a entrada no domínio
, e
. O termo
é a soma dos termos que aparecem devido às condições iniciais, obtidos ao aplicar a fórmula do Passo 3; é um polinômio em
envolvendo
.
Rearranjando para
:
Isto é crucial: a solução no domínio de Laplace se separa naturalmente em duas parcelas. Chamamos
de componente de estado nulo (zero-state), pois pressupõe condições iniciais nulas; e
de componente de entrada nula (zero-input), pois corresponde à resposta quando
mas com condições iniciais não nulas.
Passo 5
Como voltar para o tempo? Inversa de
. A técnica padrão é:
- escrever
e como frações racionais (se não forem racionais, manipular para torná-las); - fazer decomposição em frações parciais (ou usar tabelas de transformada) para obter termos cuja transformada inversa seja conhecida;
- aplicar a transformada inversa termo a termo.
Dicas práticas:
- Se
tem raízes simples reais , um termo inverte para . - Para pólos complexos conjugados
, aparecem termos do tipo e . - Para entrada degrau
, . Para , . Essas tabelas são suas melhores amigas.
Passo 6
Exemplo 1 — primeiro ordem (passo a passo e bem mastigado).
Considere a equação
Considere a equação
com condição inicial
. Queremos
, e separar zero-input e zero-state.
- Transformada de Laplace:
. Aplicando:
- Agrupar
:
- Identificação das componentes:
Interpretando:
depende só da entrada
,
depende só da condição inicial.
- Inversa — suponha
é degrau unitário então .
Fazer frações parciais:
Aplicando inversa:
- Inversa da componente de entrada nula:
- Solução total:
Comentários pedagógicos: note que
é a solução do homogêneo com a condição inicial (coloque
e resolva
com
→
). O
é a resposta forçada quando partimos de repouso (todas as condições iniciais zero).
Passo 7
Exemplo 2 — segunda ordem (mais completo).
Considere
Considere
com
e
. Vamos tomar
para ter um exemplo com entrada oscilatória.
- Transformadas:
. Aplicando:
- Agrupando
:
Com
,
, isso vira
ou
- Isolando
:
Identificamos
- Para
, temos multiplicada por no caso padrão; mais precisamente . Então
Esse termo pode exigir decomposição parcial ou tabelas para inverter; vou primeiro inverter
, que é mais simples.
- Fatorar o denominador
. Então
Fazendo frações parciais:
Resolver
. Colocando
dá
. Colocando
dá
. Logo
Invertendo:
Esse é o zero-input: a resposta do sistema homogêneo com as condições iniciais dadas.
- Inversa de
. Temos
A inversa pedirá frações parciais do tipo
Resolver para
(procedimento algébrico direto). Vou mostrar resumido o procedimento porque é mecânico: multiplicar ambos os lados por
, igualar polinômios e resolver o sistema linear para
. Depois inverter cada termo:
,
,
. O resultado será uma combinação dessas funções. (Na prática de prova faça a álgebra passo a passo e calcule
.)
- Em suma, a solução total é
onde
é a inversa do racional do Passo 6 e depende somente da entrada
.
Observação didática: esse segundo exemplo mostra claramente como a decomposição em domínio
facilita — o termo com
veio exclusivamente de condições iniciais e virou expoentes reais, enquanto o termo que multiplica
gera a resposta forçada com possíveis termos oscilatórios dependendo da entrada.
Passo 8
Resumo prático do procedimento que você deve aplicar ao Prob. 4.3-1 (passo a passo que funciona em prova):
- Escreva a equação diferencial e as condições iniciais claramente.
- Tome transformada de Laplace em ambos os lados usando a fórmula das derivadas (Passo 3).
- Agrupe termos para escrever
na forma
- Identifique
e . - Faça decomposição em frações parciais (ou use tabela) para cada parcela.
- Inverta cada parcela para obter
e . - Escreva
. Verifique condições iniciais e comportamento em .
Dicas de prova: organize o papel, mostre claramente os passos (transformada, reorganização, frações parciais, inversa). Se o enunciado pedir explicitamente as componentes de entrada nula e estado nulo, entregue-as separadamente como funções do tempo.
Passo 9
Se você quiser que eu resolva exatamente os itens do Prob. 4.3-1, eu preciso que você cole aqui as equações diferenciais, as condições iniciais e as entradas presentes naquele problema. Enquanto isso, os exemplos acima mostram exatamente o que fazer e como separar as componentes. Coragem — seguindo esse roteiro você resolve qualquer EDO linear de coeficientes constantes por Laplace, mesmo com nervoso de prova.
Resposta
Não é possível resolver os itens específicos porque o enunciado do Prob. 4.3-1 (as equações diferenciais, condições iniciais e entradas) não foi fornecido.