Dada o PVI
c y^prime=e^x+y y(0)=0
Existe função passando pelo ponto (0,0) que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
c y^prime=e^x+y y(0)=0
Basicamente, a gente quer saber se existe uma função que passa pelo ponto (0,0) e que satisfaz essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está na equação. A equação diferencial é:
y^prime = e^x + y
Aqui, y^prime representa a derivada de y em relação a x. Essa é uma equação diferencial linear porque ela pode ser escrita na forma:
y^prime + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, P(x) = -1 e Q(x) = e^x.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -1:
mu(x) = e^integral -1 dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-x y^prime + e^-x y = e^-x e^x
Simplificando o lado direito:
e^-x y^prime + e^-x y = 1

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y:
ddx (e^-x y) = 1
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^-x y = integral 1 dx + C
e^-x y = x + C

Passo 6

Agora, isolamos y multiplicando ambos os lados por e^x:
y = e^x(x + C)

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C:
0 = e^0(0 + C)
0 = 1 cdot C
C = 0

Passo 8

Substituindo C = 0 na solução geral:
y = e^x cdot x

Resposta

Sim, existe uma função que passa pelo ponto (0,0) e é solução desse PVI. A solução é:
y = x e^x

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