Dada o PVI
Existe função passando pelo ponto
que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
Basicamente, a gente quer saber se existe uma função que passa pelo ponto
e que satisfaz essa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está na equação. A equação diferencial é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Essa é uma equação diferencial linear porque ela pode ser escrita na forma:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Resposta
Sim, existe uma função que passa pelo ponto
e é solução desse PVI. A solução é: