A seguir escolha a única EDO Não-linear e justifique a não linearidade da EDO:
(a) y^prime prime+y^prime+y^2=1
(b) y^prime prime+y^prime=1;
© 2 x y^prime prime+3 y^prime+y=0;
(d) y^prime+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O que a gente precisa fazer aqui é identificar qual das opções apresentadas é uma EDO não-linear e explicar por que ela não é linear. Para isso, vamos lembrar o que torna uma EDO linear ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma EDO linear. Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x)y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + dots + a1(x)y' + a0(x)y = g(x)
Aqui, cada (derivada de ordem ) está multiplicada por uma função de e não são multiplicadas entre si ou elevadas a potências diferentes de 1. Se a EDO tiver termos como , , , etc., ela é não-linear.

Passo 3

Vamos analisar cada opção:
(a) :
  • Temos (segunda derivada), (primeira derivada) e .
  • O termo é uma potência de , o que torna a EDO não-linear.
(b) :
  • Apenas e aparecem, todos na primeira potência.
  • Não há termos não-lineares, então é uma EDO linear.
© :
  • Temos , e , todos na primeira potência.
  • Os coeficientes , e são funções de , mas não afetam a linearidade.
  • Portanto, é uma EDO linear.
(d) :
  • Apenas e na primeira potência.
  • É uma EDO linear.

Passo 4

Comparando todas as opções, só a opção (a) apresenta um termo não-linear ( ). As demais são todas lineares porque os termos envolvendo e suas derivadas estão na primeira potência e não se multiplicam entre si.

Resposta

A única EDO não-linear é a opção (a) , pois o termo introduz uma não linearidade na equação.

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