Dada a seguinte equação de um sistema: 4 dddotz+20 ddotz+84 z=0,12 u
Desenvolva a função de transferência do sistema G(s)=Z(s) / U(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema e a tarefa é encontrar a função de transferência . Isso pertence à área de sistemas de controle, onde usamos transformadas de Laplace para passar do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a análise do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a entrada com a saída do sistema no domínio de Laplace. Para encontrá-la, a gente precisa transformar a equação diferencial dada para o domínio da frequência usando a Transformada de Laplace.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação . Usamos as seguintes propriedades:
Mas, para simplificar, vamos assumir que as condições iniciais são zero (ou seja, ).

Passo 4

Aplicando as transformadas com as condições iniciais zero:
4 s^3 Z(s) + 20 s^2 Z(s) + 84 Z(s) = 0,12 U(s)

Passo 5

Agora, vamos fatorar Z(s) (4 s^3 + 20 s^2 + 84) = 0,12 U(s) na esquerda:

Passo 6

Para achar a função de transferência G(s) = Z(s)U(s) = 0,124 s^3 + 20 s^2 + 84 , vamos isolar :

Passo 7

Podemos simplificar o denominador dividindo todos os termos por 4:
G(s) = 0,124 (s^3 + 5 s^2 + 21)
G(s) = 0,03s^3 + 5 s^2 + 21

Resposta

A função de transferência do sistema é:
G(s) = 0,03s^3 + 5 s^2 + 21

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