Dada a REE
dotx=[cc 0 & 1 -20 & -4 ] x+[c 0 0,2 ] u y=[ll 1 & 0 ] x
Obtenha a função de transferência do sistema.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente pegar um sistema em representação de espaço de estados (REE)
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A = 0 & 1[6pt]-20 & -4, B = 0[3pt]0,2, C = 1 & 0,
e encontrar a função de transferência G(s)=C,(sI - A)^-1B + D .
Isso é conteúdo de Controle Clássico: a gente vai usar transformada de Laplace e a fórmula
(sendo aqui).

Passo 2

Primeiro escrevemos I = 1 & 00 & 1, .
A matriz identidade 2×2 é
sI = s & 00 & s Longrightarrow sI - A = s & 00 & s - 0 & 1-20 & -4 = s & -1[3pt]20 & s+4
então

Passo 3

Agora a gente precisa do inverso de det(sI - A) = s,(s+4) - (-1)cdot20 = s^2 + 4s + 20 . Primeiro o determinante:

Passo 4

O inverso de uma matriz a & bc & d^-1 =1ad - bc d & -b-c & a é
(sI - A)^-1 =1s^2 + 4s + 20 s+4 & 1[3pt]-20 & s
Aqui , então

Passo 5

Multiplicamos (sI - A)^-1B =1s^2+4s+20 s+4 & 1[3pt]-20 & s 0[3pt]0,2 =1s^2+4s+20 0cdot(s+4) + 1cdot0,2[4pt] -20cdot0 + scdot0,2 =1s^2+4s+20 0,2[3pt]0,2,s por :

Passo 6

Agora aplicamos G(s) = C,(sI - A)^-1B = 1 & 0 1s^2+4s+20 0,2[3pt]0,2,s =1cdot0,2 + 0cdot(0,2,s)s^2+4s+20 =0,2s^2+4s+20 na frente:

Resposta

A função de transferência do sistema é
boxedG(s) = 0,2s^2 + 4s + 20

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