Desenvolva as equações no espaço de estado para o sistema modelado pelas seguintes EDOs nas quais
e
são as variáveis dinâmicas e
é a entrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver as equações no espaço de estado para um sistema descrito por três equações diferenciais ordinárias (EDOs). As variáveis dinâmicas são
,
e
, e a entrada é
. Para resolver isso, precisamos entender o que é espaço de estado e como transformar EDOs em um conjunto de equações de primeira ordem. Vamos precisar definir estados apropriados e reorganizar as equações para chegarmos na forma padrão do espaço de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço de estado é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando um conjunto de primeiras equações diferenciais de primeira ordem. A forma geral é:
Onde:
-
é o vetor de estados. -
é a matriz do sistema. -
é a matriz de entrada. -
é a entrada. -
é a saída.
Passo 3
Vamos definir nossos estados. Como temos
,
, e
como variáveis dinâmicas, vamos escolher:
Mas note que temos derivadas de
e não apenas
. Para lidar com a derivada de
, vamos introduzir mais um estado:
Agora, nosso vetor de estados é
.
Passo 4
Vamos reescrever as EDOs em termos dos nossos estados definidos.
Primeira EDO:
Substituindo
e
:
Segunda EDO:
Substituindo
e
:
Passo 5
Terceira EDO:
Substituindo
,
e
, temos:
Isolando
:
Além disso, como
e
:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos o sistema de equações de estado:
Podemos também escrever isso na forma matricial:
Resposta
As equações no espaço de estado para o sistema são: