Desenvolva as equações no espaço de estado para o sistema modelado pelas seguintes EDOs nas quais alpha, w e z são as variáveis dinâmicas e v é a entrada.
l 0,4 dotalpha-3 w+alpha=0 0,25 dotz+4 z-0,5 z w=0 ddotw+6 dotw+0,3 w^3-2 alpha=8 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver as equações no espaço de estado para um sistema descrito por três equações diferenciais ordinárias (EDOs). As variáveis dinâmicas são alpha, w e z, e a entrada é v. Para resolver isso, precisamos entender o que é espaço de estado e como transformar EDOs em um conjunto de equações de primeira ordem. Vamos precisar definir estados apropriados e reorganizar as equações para chegarmos na forma padrão do espaço de estado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço de estado é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando um conjunto de primeiras equações diferenciais de primeira ordem. A forma geral é:
dotx = Ax + Bu
y = Cx + Du
Onde:
  • x é o vetor de estados.
  • A é a matriz do sistema.
  • B é a matriz de entrada.
  • u é a entrada.
  • y é a saída.

Passo 3

Vamos definir nossos estados. Como temos alpha, w, e z como variáveis dinâmicas, vamos escolher:
x1 = alpha x2 = w x3 = z
Mas note que temos derivadas de w e não apenas w. Para lidar com a derivada de w, vamos introduzir mais um estado:
x4 = dotw
Agora, nosso vetor de estados é x = [x1, x2, x3, x4]^T.

Passo 4

Vamos reescrever as EDOs em termos dos nossos estados definidos.
Primeira EDO:
0,4 dotalpha - 3w + alpha = 0
Substituindo x1 = alpha e x2 = w:
0,4 dotx1 - 3x2 + x1 = 0 Rightarrow dotx1 = 3x2 - x10,4
Segunda EDO:
0,25 dotz + 4z - 0,5 z w = 0
Substituindo x3 = z e x2 = w:
0,25 dotx3 + 4x3 - 0,5 x3 x2 = 0 Rightarrow dotx3 = -4x3 + 0,5x3x20,25 Rightarrow dotx3 = -16x3 + 2x3x2

Passo 5

Terceira EDO:
ddotw + 6 dotw + 0,3 w^3 - 2 alpha = 8v
Substituindo x2 = w, x4 = dotw e x1 = alpha, temos:
dotx4 + 6x4 + 0,3x2^3 - 2x1 = 8v
Isolando dotx4:
dotx4 = -6x4 - 0,3x2^3 + 2x1 + 8v
Além disso, como x2 = w e x4 = dotw:
dotx2 = x4

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos o sistema de equações de estado:
dotx1 = 3x2 - x10,4 dotx2 = x4 dotx3 = -16x3 + 2x3x2 dotx4 = -6x4 - 0,3x2^3 + 2x1 + 8v
Podemos também escrever isso na forma matricial:
dotx = - 10,4 & 30,4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 2x3 & -16 & 0 2 & -0,3x2^3 & 0 & -6 x + 0 0 0 8 v

Resposta

As equações no espaço de estado para o sistema são:
dotx1 = 3x2 - x10,4 dotx2 = x4 dotx3 = -16x3 + 2x3x2 dotx4 = -6x4 - 0,3x2^3 + 2x1 + 8v

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