Numa dada região do espaço o campo elétrico é dado por E_{x}=x \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2} e E_{y}=-2 y \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}, em que x e y são dados em unidades de metro. A diferença de potencial V(1 \mathrm{~m}, 1 \mathrm{~m})-V(0,0) é:
(A) -1 V
(B) 0 V
(C) 1 V
(D) 0,5 \mathrm{~V}
(E) -0,5 \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre dois pontos: \,V(1\\ \mathrm{m},1\\ \mathrm{m})-V(0,0)\,. As informações fornecidas são as componentes do campo elétrico na região:
E_x = x\\ \text{V/m}^2\quad\text{e}\quad E_y = -2y\\ \text{V/m}^2,
onde x e y estão em metros. Não há outras condições dadas (por exemplo, contornos), então devemos usar essas expressões do campo para encontrar a diferença de potencial pedida.

Passo 2

Conceito-chave: a relação entre campo elétrico \mathbf{E} e potencial elétrico V. Diz-se que o campo é o gradiente negativo do potencial:
\mathbf{E} = -\nabla V.
Explicando com calma: \nabla V é o vetor das derivadas parciais de V. Em componentes, em coordenadas cartesianas,
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\qquad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}.
Outra forma útil (mais prática para calcular diferenças de potencial) é a integral de linha:
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell},
onde d\mathbf{\ell} é o vetor diferencial de deslocamento. Essa integral depende do caminho só se o campo não for conservativo; se o campo for conservativo (isto é, derivado de um potencial escalar), a integral é independente do caminho.

Passo 3

Precisamos saber se o campo é conservativo (assim podemos escolher o modo mais simples de calcular). Em duas dimensões, uma verificação rápida é checar o “rotor” (componente z do \nabla\times\mathbf{E}):
(\nabla\times\mathbf{E})_z = \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}.
Calculemos as derivadas parciais usando as expressões dadas:
\frac{\partial E_y}{\partial x} = \frac{\partial (-2y)}{\partial x} = 0,
\frac{\partial E_x}{\partial y} = \frac{\partial (x)}{\partial y} = 0.
Logo
(\nabla\times\mathbf{E})_z = 0 - 0 = 0.
Conclusão: o rotor é nulo na região considerada, então o campo é conservativo e existe uma função potencial V(x,y) tal que \mathbf{E}=-\nabla V. Isso significa que a diferença de potencial entre dois pontos independe do caminho escolhido.

Passo 4

Estratégia escolhida (simples e rápida): obter diretamente a função potencial V(x,y) a partir das relações
-\frac{\partial V}{\partial x} = E_x = x,\qquad -\frac{\partial V}{\partial y} = E_y = -2y.
Vou integrar uma das equações para encontrar V em termos de uma “constante” que pode depender da outra variável, e então determinar essa função dependente da outra variável usando a outra equação. Esse método é padrão quando se tem E=-\nabla V.

Passo 5

Integração em x: da primeira relação temos
\frac{\partial V}{\partial x} = -x.
Integrando em relação a x (tratando y como constante durante essa integração),
V(x,y) = \int -x\,dx = -\frac{x^2}{2} + C(y),
onde C(y) é uma função arbitrária de y (o “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 6

Agora usamos a segunda relação para determinar C(y). Sabemos que
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{dC}{dy},
porque o termo -\frac{x^2}{2} não depende de y. Mas a segunda relação dita que
-\frac{\partial V}{\partial y} = E_y = -2y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial V}{\partial y} = 2y.
Portanto
\frac{dC}{dy} = 2y.
Integramos em y:
C(y) = \int 2y\,dy = y^2 + C_0,
onde C_0 é uma constante real (número). Assim a expressão completa do potencial é
V(x,y) = -\frac{x^2}{2} + y^2 + C_0.
Observação: C_0 não altera diferenças de potencial, então não precisamos determiná-lo.

Passo 7

Agora calculamos a diferença pedida usando V(x,y). Substituindo os pontos:
V(1,1) = -\frac{1^2}{2} + 1^2 + C_0 = -\frac{1}{2} + 1 + C_0 = \frac{1}{2} + C_0,
V(0,0) = -\frac{0^2}{2} + 0^2 + C_0 = 0 + C_0 = C_0.
Fazendo a diferença:
V(1,1)-V(0,0) = \left(\frac{1}{2} + C_0\right) - C_0 = \frac{1}{2}.
Portanto a diferença de potencial é \frac{1}{2} volt, ou seja 0{,}5\\ \mathrm{V}.

Resposta

(D) 0{,}5\\ \mathrm{V}

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