Numa dada região do espaço o campo elétrico é dado por
e
, em que
e
são dados em unidades de metro. A diferença de potencial
é:
(A) -1 V
(B) 0 V
(C) 1 V
(D)
(E)
(A) -1 V
(B) 0 V
(C) 1 V
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a diferença de potencial entre dois pontos:
. As informações fornecidas são as componentes do campo elétrico na região:
onde
e
estão em metros. Não há outras condições dadas (por exemplo, contornos), então devemos usar essas expressões do campo para encontrar a diferença de potencial pedida.
Passo 2
Conceito-chave: a relação entre campo elétrico
e potencial elétrico
. Diz-se que o campo é o gradiente negativo do potencial:
Explicando com calma:
é o vetor das derivadas parciais de
. Em componentes, em coordenadas cartesianas,
Outra forma útil (mais prática para calcular diferenças de potencial) é a integral de linha:
onde
é o vetor diferencial de deslocamento. Essa integral depende do caminho só se o campo não for conservativo; se o campo for conservativo (isto é, derivado de um potencial escalar), a integral é independente do caminho.
Passo 3
Precisamos saber se o campo é conservativo (assim podemos escolher o modo mais simples de calcular). Em duas dimensões, uma verificação rápida é checar o “rotor” (componente
do
):
Calculemos as derivadas parciais usando as expressões dadas:
Logo
Conclusão: o rotor é nulo na região considerada, então o campo é conservativo e existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que a diferença de potencial entre dois pontos independe do caminho escolhido.
Passo 4
Estratégia escolhida (simples e rápida): obter diretamente a função potencial
a partir das relações
Vou integrar uma das equações para encontrar
em termos de uma “constante” que pode depender da outra variável, e então determinar essa função dependente da outra variável usando a outra equação. Esse método é padrão quando se tem
.
Passo 5
Integração em
: da primeira relação temos
Integrando em relação a
(tratando
como constante durante essa integração),
onde
é uma função arbitrária de
(o “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 6
Agora usamos a segunda relação para determinar
. Sabemos que
porque o termo
não depende de
. Mas a segunda relação dita que
Portanto
Integramos em
:
onde
é uma constante real (número). Assim a expressão completa do potencial é
Observação:
não altera diferenças de potencial, então não precisamos determiná-lo.
Passo 7
Agora calculamos a diferença pedida usando
. Substituindo os pontos:
Fazendo a diferença:
Portanto a diferença de potencial é
volt, ou seja
.
Resposta
(D)