É dada uma região do espaço na qual o campo elétrico é dirigido paralelamente ao eixo
em todos os pontos. Demonstre que o campo elétrico é independente das coordenadas
e
nesta região. Se não houver carga nesta região, demonstre que o campo será também independente de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região no espaço onde o campo elétrico está sempre na direção do eixo
. A tarefa é mostrar que esse campo elétrico não depende das coordenadas
e
. Além disso, se nessa região não tiver carga, a gente também precisa provar que o campo não muda com o
. Para isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e as leis de Maxwell, especialmente a equação de Gauss para o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
pode ser descrito como uma função que depende das coordenadas espaciais
. No nosso caso, a direção do campo é sempre paralela ao eixo
, então podemos escrever:
Aqui,
é a componente do campo na direção
, e
é o vetor unitário nessa direção.
Passo 3
Agora, para mostrar que
não depende de
e
, vamos usar a equação de Gauss para o campo elétrico, que é uma das equações de Maxwell. A equação de Gauss é dada por:
Onde
é a divergência do campo elétrico,
é a densidade de carga e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
no nosso caso. Como
, temos:
Mas como o campo só tem componente na direção
,
. Então a divergência simplifica para:
Passo 5
Substituindo na equação de Gauss:
Isso nos mostra que a variação de
em relação a
está relacionada à presença de carga na região. Mas, inicialmente, a gente quer mostrar que
não depende de
e
.
Passo 6
Para que
seja independente de
e
, suas derivadas parciais em relação a essas coordenadas devem ser zero:
Isso significa que
só pode variar com
, ou seja,
.
Passo 7
Agora, se não houver carga na região, ou seja,
, a equação de Gauss fica:
Isso implica que
não varia com
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que o campo elétrico
é independente das coordenadas
e
, e se não houver carga na região, ele também é independente de
. Ou seja,