É dada uma região do espaço na qual o campo elétrico é dirigido paralelamente ao eixo x em todos os pontos. Demonstre que o campo elétrico é independente das coordenadas y e z nesta região. Se não houver carga nesta região, demonstre que o campo será também independente de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região no espaço onde o campo elétrico está sempre na direção do eixo x. A tarefa é mostrar que esse campo elétrico não depende das coordenadas y e z. Além disso, se nessa região não tiver carga, a gente também precisa provar que o campo não muda com o x. Para isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e as leis de Maxwell, especialmente a equação de Gauss para o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E pode ser descrito como uma função que depende das coordenadas espaciais (x, y, z). No nosso caso, a direção do campo é sempre paralela ao eixo x, então podemos escrever:
E = Ex(x, y, z) i
Aqui, Ex é a componente do campo na direção x, e i é o vetor unitário nessa direção.

Passo 3

Agora, para mostrar que Ex não depende de y e z, vamos usar a equação de Gauss para o campo elétrico, que é uma das equações de Maxwell. A equação de Gauss é dada por:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Onde nabla cdot E é a divergência do campo elétrico, rho é a densidade de carga e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de E no nosso caso. Como E = Ex(x, y, z) i, temos:
nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z
Mas como o campo só tem componente na direção x, Ey = Ez = 0. Então a divergência simplifica para:
nabla cdot E = partial Expartial x

Passo 5

Substituindo na equação de Gauss:
partial Expartial x = rhovarepsilon0
Isso nos mostra que a variação de Ex em relação a x está relacionada à presença de carga na região. Mas, inicialmente, a gente quer mostrar que Ex não depende de y e z.

Passo 6

Para que Ex seja independente de y e z, suas derivadas parciais em relação a essas coordenadas devem ser zero:
partial Expartial y = 0 e partial Expartial z = 0
Isso significa que Ex só pode variar com x, ou seja, Ex = Ex(x).

Passo 7

Agora, se não houver carga na região, ou seja, rho = 0, a equação de Gauss fica:
partial Expartial x = 0
Isso implica que Ex não varia com x, então:
Ex = constante

Resposta

Portanto, mostramos que o campo elétrico E é independente das coordenadas y e z, e se não houver carga na região, ele também é independente de x. Ou seja,
E = constante cdot i

Exercícios relacionados