Uma carga q está uniformemente distribuída numa casca esférica grossa não-condutora de raio interno a e raio externo b. A densidade \_\_\_\_ de cargas é \_\_\_\_ .
(A) superficial, \frac{q}{\pi\left(a^{2}-b^{2}\right)}
(B) volumétrica, \frac{3 q}{4 \pi(b-a)^{3}}
(C) volumétrica, \frac{3 q}{4 \pi\left(b^{3}-a^{3}\right)}
(D) superficial, \frac{q}{\pi(b-a)^{2}}
(E) volumétrica, \frac{q}{4 \pi\left(b^{3}-a^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado dá uma carga q distribuída de forma uniforme numa casca esférica não-condutora de raio interno a e raio externo b. As lacunas a preencher são: o tipo de densidade (superficial ou volumétrica) e o valor numérico dessa densidade. Dados relevantes: q, a, b. Pergunta: qual é a densidade (tipo e expressão) que descreve essa distribuição uniforme?

Passo 2

O que significa “distribuída uniformemente numa casca esférica não-condutora”?
  • “Não-condutora” (isolante) significa que a carga pode estar espalhada por todo o volume do material, não necessariamente concentrada na superfície.
  • “Distribuída uniformemente” indica que a mesma quantidade de carga por unidade de volume existe em toda a região entre a e b.
    Portanto estamos falando de densidade volumétrica, que costuma ser denotada por \rho e tem unidades de carga por volume (por exemplo, \text{C}/\text{m}^3). Para contraponto: densidade superficial \sigma teria unidades \text{C}/\text{m}^2 e seria usada se a carga estivesse apenas numa superfície fina.

Passo 3

Para achar a densidade volumétrica uniforme precisamos dividir a carga total q pelo volume ocupado pela carga (o volume da casca esférica). O volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Assim o volume da casca, que é a diferença entre as duas esferas de raios b e a, é
V_{\text{casca}}= \frac{4}{3}\pi b^{3}-\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(b^{3}-a^{3}\right).

Passo 4

A densidade volumétrica uniforme \rho é a carga total dividida pelo volume da região onde a carga está:
\rho=\frac{q}{V_{\text{casca}}}=\frac{q}{\dfrac{4}{3}\pi\left(b^{3}-a^{3}\right)}.
Simplificando a fração (dividindo por \tfrac{4}{3}) obtemos
\rho=\frac{3q}{4\pi\left(b^{3}-a^{3}\right)}.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação: a expressão obtida tem unidades de carga por volume, como esperado para densidade volumétrica. As alternativas que dão densidade superficial ou que usam (b-a)^{3} ou fatores errados estão incorretas por motivo dimensional ou por interpretar a carga como concentrada numa superfície. A expressão correta coincide com a alternativa que indica densidade volumétrica e o fator \dfrac{3}{4\pi} sobre \left(b^{3}-a^{3}\right).

Resposta

(C) volumétrica, \frac{3 q}{4 \pi\left(b^{3}-a^{3}\right)}

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