Numa dada região o potencial elétrico é expresso como V(x, y, z)=(x-y)^{2}+2 z^{2}. Encontre o campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) correspondente.
(A) E_{x}=2(x-y), E_{y}=-2(y-x) e E_{z}=-4 z
(B) E_{x}=-(x+y), E_{y}=-(y+x) e E_{z}=-4 z
(C) E_{x}=-2(x-y), E_{y}=-2(x-y) e E_{z}=4 z
(D) E_{x}=-2(x-y), E_{y}=-2(y-x) e E_{z}=-4 z
(E) E_{x}=-2(x-y), E_{y}=-2(y-x) e E_{z}=4 z

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico V(x,y,z) = (x-y)^{2} + 2 z^{2} e pede o campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função potencial é \;V(x,y,z) = (x-y)^{2} + 2 z^{2}.
  • A tarefa é encontrar \vec{E}(x,y,z) em termos de x,y,z.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma direta): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Isso significa que, componente a componente,
\vec{E} = -\nabla V
onde \nabla V (o gradiente de V) é o vetor das derivadas parciais de V:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Intuição curta e amiga: o gradiente aponta na direção de maior aumento de V; o campo \vec{E} aponta na direção de maior decrescimento de V, por isso o sinal menos. Vamos calcular cada derivada parcial com calma usando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 3

Calcular \frac{\partial V}{\partial x}. Escrevemos V como V=(x-y)^{2}+2z^{2}. A parte que depende de x é (x-y)^{2}. Seja u=x-y; então (x-y)^{2}=u^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}u^{2}=2u\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=1, obtemos
\frac{\partial V}{\partial x}=2(x-y).
Expliquei: derivada de quadrado dá 2 vezes a função interna, vezes derivada da interna.

Passo 4

Calcular \frac{\partial V}{\partial y}. Mesma ideia: com u=x-y,
\frac{\partial}{\partial y}u^{2}=2u\frac{\partial u}{\partial y}.
Agora \frac{\partial u}{\partial y}=-1 (porque u=x-y), então
\frac{\partial V}{\partial y}=2(x-y)\cdot(-1) = -2(x-y).
Observação útil: -2(x-y)=2(y-x). Mantive formas que aparecem nas alternativas.

Passo 5

Calcular \frac{\partial V}{\partial z}. A parte que depende de z é 2z^{2}. Derivando,
\frac{\partial V}{\partial z}=2\cdot 2z = 4z.
Ou seja, derivada de z^{2} é 2z, vezes o coeficiente 2 4z.

Passo 6

Agora formamos o campo elétrico como \vec{E}=-\nabla V. Portanto as componentes são
E_{x} = -\frac{\partial V}{\partial x} = -2(x-y),
E_{y} = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\bigl(-2(x-y)\bigr) = 2(x-y).
Reescrevendo E_{y} na forma que aparece nas alternativas: 2(x-y) = -2(y-x). Finalmente,
E_{z} = -\frac{\partial V}{\partial z} = -4z.
Então, em forma compacta,
\vec{E} = \bigl(-2(x-y),\;2(x-y),\;-4z\bigr),
que é a mesma coisa que
\vec{E} = \bigl(-2(x-y),\;-2(y-x),\;-4z\bigr).

Passo 7

Comparemos com as alternativas dadas. A alternativa que tem
E_{x}=-2(x-y),\quad E_{y}=-2(y-x),\quad E_{z}=-4z
é exatamente a que coincide com o vetor que encontramos (lembre que -2(y-x)=2(x-y)). Essa é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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