Numa dada região o potencial elétrico é expresso como
. Encontre o campo elétrico
correspondente.
(A)
e
(B)
e
(C)
e
(D)
e
(E)
e
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
e pede o campo elétrico
correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função potencial é
- A tarefa é encontrar
em termos de .
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma direta): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Isso significa que, componente a componente,
onde
(o gradiente de
) é o vetor das derivadas parciais de
:
Intuição curta e amiga: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
; o campo
aponta na direção de maior decrescimento de
, por isso o sinal menos. Vamos calcular cada derivada parcial com calma usando a regra da cadeia quando necessário.
Passo 3
Calcular
. Escrevemos
como
. A parte que depende de
é
. Seja
; então
. Pela regra da cadeia,
Como
, obtemos
Expliquei: derivada de quadrado dá
vezes a função interna, vezes derivada da interna.
Passo 4
Calcular
. Mesma ideia: com
,
Agora
(porque
), então
Observação útil:
. Mantive formas que aparecem nas alternativas.
Passo 5
Calcular
. A parte que depende de
é
. Derivando,
Ou seja, derivada de
é
, vezes o coeficiente
dá
.
Passo 6
Agora formamos o campo elétrico como
. Portanto as componentes são
Reescrevendo
na forma que aparece nas alternativas:
. Finalmente,
Então, em forma compacta,
que é a mesma coisa que
Passo 7
Comparemos com as alternativas dadas. A alternativa que tem
é exatamente a que coincide com o vetor que encontramos (lembre que
). Essa é a alternativa (D).
Resposta
(D)