1. Dada a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x-y+z+1=0 \\\ x+y-2 z=0 \end{array}\right.
a) escrevê-la na forma vetorial.
b) escrevê-la na forma simétrica.
c) escrevê-la na forma paramétrica.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r\subset\mathbb{R}^3\) como interseção de dois planos \[\begin{cases} x - y + z + 1 = 0,\\\ x + y - 2z = 0. \end{cases}
Queremos obter três formas de representação de r\]: vetorial, simétrica e paramétrica. Para isso, precisamos encontrar 1. um vetor diretor de \(r, perpendicular aos vetores normais dos planos,
2. um ponto qualquer pertencente a r.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são
\mathbf{n}_1 = (1,-1,1),\qquad \mathbf{n}_2 = (1,1,-2).
O vetor diretor \mathbf{v} da reta é dado pelo produto vetorial
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1,3,2).

Passo 3

Para achar um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) em r, resolvemos o sistema de forma paramétrica: da segunda equação
x + y - 2z = 0 \implies y = 2z - x,
substituímos na primeira
x - (2z - x) + z + 1 = 0 \implies 2x - z + 1 = 0 \implies z = 2x + 1.
Escolhendo x=0, temos z=1 e então y = 2\cdot1 - 0 = 2. Logo
P_0 = (0,2,1).

Passo 4

Forma vetorial. Com ponto P_0 e vetor diretor \mathbf{v},
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Forma paramétrica. Das componentes da forma vetorial obtemos
\begin{cases} x = 0 + t = t,\\\ y = 2 + 3t,\\\ z = 1 + 2t. \end{cases}

Passo 6

Forma simétrica. Isolando t em cada equação paramétrica,
\frac{x - 0}{1} \;=\;\frac{y - 2}{3}\;=\;\frac{z - 1}{2}.

Resposta

a) Forma vetorial:
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
b) Forma simétrica:
\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{2}.
c) Forma paramétrica:
\begin{cases} x = t,\\\ y = 2 + 3t,\\\ z = 1 + 2t. \end{cases}

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