Dar o vetor normal vec{\omega} do plano determinado pelo ponto A e pela reta r. nos seguintes casos:
\mathbf{A}=(1,1,0), \mathrm{r}: \quad \mathrm{X}=(1,0,0)+\lambda(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal \vec{\omega} ao plano determinado pelo ponto A=(1,1,0) e pela reta
r: X=(1,0,0)+\lambda\,(0,0,1).
Para obter esse normal, vamos usar o produto vetorial entre um vetor diretor da reta e o vetor que liga um ponto da reta até A.

Passo 2

Identificamos que um vetor diretor de r é
\vec v=(0,0,1)
e que um ponto qualquer da reta é
\,P_{0}=(1,0,0).
Portanto, o vetor que liga P_{0} a A é
\overrightarrow{P_{0}A} = A - P_{0} = (1,1,0)-(1,0,0) = (0,1,0).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial entre \vec v e \overrightarrow{P_{0}A}:
\vec v \times \overrightarrow{P_{0}A} = (0,0,1)\times(0,1,0) = \bigl(0\cdot0 - 1\cdot1,\;1\cdot0 - 0\cdot0,\;0\cdot1 - 0\cdot0\bigr) = (-1,0,0).
Esse resultado é um vetor normal ao plano.

Passo 4

Como qualquer múltiplo escalar também é normal, podemos escolher para simplificar
\vec{\omega} = (1,0,0).

Resposta

\vec{\omega} = (1,0,0)

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