Dada a seguinte EDO homogênea
com condições iniciais
. Responda.
A resposta homogênea possui oscilação?
A resposta homogênea possui oscilação?
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Vamos analisar se a solução dessa EDO apresenta oscilações. Para isso, vamos precisar entender como resolver EDOs homogêneas de segunda ordem e verificar o tipo de solução que obtemos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à EDO. Para uma EDO da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos
,
e
. Substituindo esses valores, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante (
) dessa equação quadrática, que é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
O sinal do discriminante nos diz o tipo das raízes da equação característica:
- Se
: duas raízes reais e distintas, sem oscilações. - Se
: duas raízes reais iguais, sem oscilações. - Se
: raízes complexas conjugadas, o que implica oscilações.
No nosso caso,
, o que significa que as raízes são complexas conjugadas e a solução da EDO será oscilatória.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde:
Calculando
:
Passo 6
Aplicando as condições iniciais para encontrar os valores de
e
:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
Sim, a solução homogênea da EDO possui oscilações.