Dada a seguinte EDO homogênea 2 ddoty+12 doty+68 y=0 com condições iniciais y(0)=3, doty(0)=0. Responda.
A resposta homogênea possui oscilação?

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem:
2 ddoty + 12 doty + 68 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 3
doty(0) = 0
Vamos analisar se a solução dessa EDO apresenta oscilações. Para isso, vamos precisar entender como resolver EDOs homogêneas de segunda ordem e verificar o tipo de solução que obtemos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à EDO. Para uma EDO da forma:
a ddoty + b doty + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos 2 r^2 + 12 r + 68 = 0, e . Substituindo esses valores, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante ( De) dessa equação quadrática, que é dado por:
De
Substituindo os valores:

Passo 4

O sinal do discriminante nos diz o tipo das raízes da equação característica:
  • Se : duas raízes reais e distintas, sem oscilações.
  • Se : duas raízes reais iguais, sem oscilações.
  • Se : raízes complexas conjugadas, o que implica oscilações.
No nosso caso, , o que significa que as raízes são complexas conjugadas e a solução da EDO será oscilatória.

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
y(t) = e^-b2a t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) )
Onde:
omega = raiz4 a c - b^24 a^2 = raiz-De
Calculando omega = raiz40016 = raiz25 = 5:

Passo 6

Aplicando as condições iniciais para encontrar os valores de 3 = e^0 (C1 cos(0) + C2 sin(0)) Rightarrow C1 = 3 e doty(t) = -3 e^-3 t (3 cos(5 t) + C2 sin(5 t)) + e^-3 t (-15 sin(5 t) + 5 C2 cos(5 t)):
Primeiro, para 0 = -3 (3 cos(0) + C2 sin(0)) + (-15 sin(0) + 5 C2 cos(0)):
0 = -9 + 5 C2 Rightarrow C2 = 95 = 1.8
Segundo, para :
Calculamos a derivada de :
Aplicando :

Resposta

Sim, a solução homogênea da EDO possui oscilações.

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