Sendo uma sequência x[n] de 6 pontos:
x[n]=4 de
Convoluindo com uma função h[n] de 3 pontos usando convolução circular de N pontos. Qual deve ser o valor de N para que o resultado da convolução circular seja igual ao da convolução linear?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência com 6 pontos e uma função de 3 pontos. A gente precisa descobrir qual o valor de para a convolução circular de pontos ser igual à convolução linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são convolução linear e circular, além de saber como elas se relacionam com o tamanho das sequências envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução linear. Quando a gente convolve duas sequências, a convolução linear resulta em uma nova sequência cujo comprimento é a soma dos comprimentos das sequências originais menos um. No nosso caso:
  • tem 6 pontos.
  • tem 3 pontos.
Então, a convolução linear vai ter pontos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a convolução circular. Ao contrário da linear, a convolução circular “dobra” as sequências de forma que elas formem um ciclo. Para que a convolução circular dê o mesmo resultado que a linear, o número de pontos que a gente escolhe para essa circularização precisa ser grande o suficiente para evitar essa “dobradura” indesejada que pode distorcer o resultado.

Passo 4

Então, para garantir que a convolução circular seja igual à linear, o valor de deve ser pelo menos igual ao comprimento da convolução linear. Isso significa que precisa ser igual ou maior que 8. Se escolhermos , conseguimos acomodar todos os pontos da convolução linear sem que elas se “dobrem”.

Passo 5

Portanto, o valor mínimo de que garante que a convolução circular de pontos seja igual à convolução linear é .

Resposta

O valor de deve ser igual a 8 para que a convolução circular seja igual à convolução linear.

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