Dada a equação E/S 2 ddoty+8 doty+6 y=3 u.
Calcule os polos da função de transferência.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem a equação diferencial 2 ddoty + 8 doty + 6 y = 3 u e precisa calcular os polos da função de transferência. Pra isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e propriedades de funções de transferência em sistemas dinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial para o domínio de Laplace. Lembrando que na transformada de Laplace:
  • A derivada primeira doty vira s Y(s) - y(0)
  • A derivada segunda ddoty vira s^2 Y(s) - s y(0) - doty(0)
Assumindo que as condições iniciais são zero (ou seja, y(0) = 0 e doty(0) = 0), a equação fica assim:
2 s^2 Y(s) + 8 s Y(s) + 6 Y(s) = 3 U(s)

Passo 3

Agora, vamos isolar a função de transferência H(s) = Y(s)U(s). Fazendo isso, temos:
Y(s) (2 s^2 + 8 s + 6) = 3 U(s)
Dividindo ambos os lados por (2 s^2 + 8 s + 6) U(s):
Y(s)U(s) = 32 s^2 + 8 s + 6
Então, a função de transferência é:
H(s) = 32 s^2 + 8 s + 6

Passo 4

Os polos da função de transferência são os valores de s que fazem o denominador igual a zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
2 s^2 + 8 s + 6 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, que é:
s = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde:
  • a = 2
  • b = 8
  • c = 6

Passo 6

Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
s = -8 pm raiz162 cdot 2 = -8 pm 44
Então, temos duas soluções:
  1. s = -8 + 44 = -44 = -1
  2. s = -8 - 44 = -124 = -3

Resposta

Os polos da função de transferência são s = -1 e s = -3.

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