Dada a seguinte função densidade de probabilidade ( \mathbf{2 , 0} pontos):
f(x)=\left\{\begin{array}{l} k(2-x) ; \text { se } 0 \leq x<1 \\\ k ; \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \quad \text { Caso Contrário } \end{array}\right.á
Responda: a) Determine o valor de “k”; b) Encontre e represente graficamente a Função Distribuição Acumulada; c) Calcule a E(X); d) Determine a probabilidade: P(x \geq 0,5).

Passo 1

O enunciado dá uma função densidade de probabilidade por partes e faz quatro pedidos. Vou listar claramente o que nos deram e o que é pedido.
Informações fornecidas (do enunciado):
  • A função densidade de probabilidade é
f(x)=\begin{cases} k(2-x), & \text{se } 0\le x<1,\\[4pt] k, & \text{se } 1\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Ou seja, a densidade é nula fora do intervalo [0,2], tem uma parte linear em [0,1) e é constante em [1,2].
Perguntas que o enunciado faz:
a) Determinar o valor de k.
b) Encontrar e representar graficamente a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
c) Calcular \mathbb{E}(X).
d) Determinar P(X\ge 0,5).
A partir daqui vou resolver passo a passo mostrando a teoria necessária e as contas detalhadas.]

Passo 2

Determinar k usando a propriedade fundamental de uma densidade: a integral da densidade em todo o espaço tem que ser 1. Vou escrever a equação de normalização e calcular.
Teoria usada: para uma variável contínua com densidade f vale
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é zero fora de [0,2], então basta integrar em [0,2], dividindo nas duas partes dadas.
Cálculo:
\int_{0}^{1} k(2-x)\,dx + \int_{1}^{2} k\,dx = 1.
Calculo a primeira integral:
\int_{0}^{1} k(2-x)\,dx = k\left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = k\left(2 - \frac{1}{2}\right) = k\cdot\frac{3}{2}.
A segunda integral:
\int_{1}^{2} k\,dx = k\,(2-1) = k.
Somando:
\frac{3}{2}k + k = \frac{5}{2}k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2}{5}.

Passo 3

Definir a função distribuição acumulada (CDF) e como calculá-la para uma densidade contínua.
Teoria usada: para variável contínua com densidade f,
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Vou aplicar isso em cada região de x: x<0, 0\le x<1, 1\le x\le 2 e x>2. Já sabemos k=\dfrac{2}{5}.

Passo 4

Calcular F(x) explicitamente (contas detalhadas).
  1. Para x<0:
F(x)=0.
  1. Para 0\le x<1:
F(x)=\int_{0}^{x} k(2-t)\,dt = k\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{x} = k\left(2x-\frac{x^2}{2}\right).
Substituindo k=\dfrac{2}{5}:
F(x)=\frac{2}{5}\left(2x-\frac{x^2}{2}\right) = \frac{4x-x^2}{5}.
Verificação de valores extremos desta parte: em x=0 F(0)=0 e em x\to1^- F(1^-)=\dfrac{4-1}{5}=\dfrac{3}{5}.
  1. Para 1\le x\le 2:
    Primeiro já tenho F(1)=\dfrac{3}{5}. Para x nessa faixa:
F(x)=F(1)+\int_{1}^{x} k\,dt = \frac{3}{5}+k(x-1).
Substituindo k=\dfrac{2}{5}:
F(x)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}(x-1)=\frac{1+2x}{5}.
Verificação: em x=1 obtém \frac{1+2}{5}=\frac{3}{5} (compatível) e em x=2 obtém \frac{1+4}{5}=1 (como deve ser).
  1. Para x>2:
F(x)=1.
Portanto a CDF completa é
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{4x-x^2}{5}, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{2x+1}{5}, & 1\le x\le 2,\\[6pt] 1, & x>2. \end{cases}]

Passo 5

Representação gráfica (descrição detalhada para que possas desenhar à mão na prova) e propriedades da CDF.
Como desenhar passo a passo:
  • Para x<0: traça F(x)=0 até x=0.
  • Entre x=0 e x=1: F(x)=\dfrac{4x-x^2}{5} é uma função quadrática (parábola) que passa por (0,0) e por (1,\tfrac{3}{5}). A derivada dessa parte é F'(x)=f(x)=k(2-x)=\dfrac{2}{5}(2-x), ou seja, o declive (slope) no início ( x=0) é F'(0)=\dfrac{4}{5} e no final ( x\to1^-) é F'(1^-)=\dfrac{2}{5}. Assim a curva é crescente, com inclinação diminuindo linearmente.
  • Entre x=1 e x=2: F(x)=\dfrac{2x+1}{5} é uma reta com inclinação constante F'(x)=\dfrac{2}{5}. Ela liga o ponto (1,\tfrac{3}{5}) ao ponto (2,1).
  • Para x>2: F(x)=1.
Observações úteis:
  • F(x) é contínua em todo lugar (verificou-se que os valores coincidem em x=1).
  • A derivada F'(x)=f(x) coincide com a densidade: para 0<x<1, F'(x)=\dfrac{2}{5}(2-x); para 1<x<2, F'(x)=\dfrac{2}{5}.
  • Se quiseres desenhar com pontos: marque (0,0), (1,3/5) e (2,1); desenha a parábola suave entre 0 e 1 e a reta entre 1 e 2.

Passo 6

Calcular \mathbb{E}(X) usando a definição para densidade contínua.
Teoria usada: \mathbb{E}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx. Vou integrar em [0,1] e em [1,2].
Cálculo detalhado:
\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{1} x\cdot k(2-x)\,dx + \int_{1}^{2} x\cdot k\,dx.
Primeira integral:
\int_{0}^{1} x\big(2-x\big)\,dx = \int_{0}^{1} (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Multiplicando por k:
I_1 = k\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{15}.
Segunda integral:
\int_{1}^{2} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Multiplicando por k:
I_2 = k\cdot\frac{3}{2} = \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{5}.
Somando:
\mathbb{E}(X)=I_1+I_2 = \frac{4}{15} + \frac{3}{5} = \frac{4}{15} + \frac{9}{15} = \frac{13}{15}.
Em decimal \dfrac{13}{15}\approx 0{,}866\overline{6}.

Passo 7

Calcular P(X\ge 0,5).
Dica prática: para uma distribuição contínua sem átomos, P(X\ge a)=1-P(X<a)=1-F(a). Aqui não há massa pontual em x=0{,}5, então posso usar 1-F(0{,}5).
Calculando F(0{,}5) usando a expressão para 0\le x<1:
F(0{,}5)=\frac{4(0{,}5)-(0{,}5)^2}{5}=\frac{2 - 0{,}25}{5}=\frac{1{,}75}{5}=\frac{7}{20}.
Logo
P(X\ge 0{,}5)=1-F(0{,}5)=1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}=0{,}65.
Se preferires ver pela integral:
P(X\ge 0{,}5)=\int_{0{,}5}^{1} k(2-x)\,dx + \int_{1}^{2} k\,dx,
que dá o mesmo resultado \dfrac{13}{20}.

Resposta

a) k=\dfrac{2}{5}\) b) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{4x-x^2}{5}, & 0\le x<1,\\[6pt] \dfrac{2x+1}{5}, & 1\le x\le 2,\\[6pt] 1, & x>2, \end{cases}
c) \mathbb{E}(X)=\dfrac{13}{15}\] d) \(P(X\ge 0{,}5)=\dfrac{13}{20}]

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