Dada a seguinte função densidade de probabilidade ( \mathbf{2 , 0} pontos):
f(x)=\left\{\begin{array}{l} k(2-x) ; \text { se } 0 \leq x<1 \\\ k ; \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 \quad \text { Caso Contrário } \end{array}\right.
Responda: a) Determine o valor de “k”; b) Encontre e represente graficamente a Função Distribuição Acumulada; c) Calcule a E(X); d) Determine a probabilidade: P(x \geq 0,5).
Passo 1
O enunciado dá uma função densidade de probabilidade por partes e faz quatro pedidos. Vou listar claramente o que nos deram e o que é pedido.
Ou seja, a densidade é nula fora do intervalo [0,2], tem uma parte linear em [0,1) e é constante em [1,2].
Perguntas que o enunciado faz:
a) Determinar o valor de k.
b) Encontrar e representar graficamente a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
c) Calcular \mathbb{E}(X).
d) Determinar P(X\ge 0,5).
A partir daqui vou resolver passo a passo mostrando a teoria necessária e as contas detalhadas.]
Passo 2
Determinar k usando a propriedade fundamental de uma densidade: a integral da densidade em todo o espaço tem que ser 1. Vou escrever a equação de normalização e calcular.
Teoria usada: para uma variável contínua com densidade f vale
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é zero fora de [0,2], então basta integrar em [0,2], dividindo nas duas partes dadas.
Representação gráfica (descrição detalhada para que possas desenhar à mão na prova) e propriedades da CDF.
Como desenhar passo a passo:
Para x<0: traça F(x)=0 até x=0.
Entre x=0 e x=1: F(x)=\dfrac{4x-x^2}{5} é uma função quadrática (parábola) que passa por (0,0) e por (1,\tfrac{3}{5}). A derivada dessa parte é F'(x)=f(x)=k(2-x)=\dfrac{2}{5}(2-x), ou seja, o declive (slope) no início (x=0) é F'(0)=\dfrac{4}{5} e no final (x\to1^-) é F'(1^-)=\dfrac{2}{5}. Assim a curva é crescente, com inclinação diminuindo linearmente.
Entre x=1 e x=2: F(x)=\dfrac{2x+1}{5} é uma reta com inclinação constante F'(x)=\dfrac{2}{5}. Ela liga o ponto (1,\tfrac{3}{5}) ao ponto (2,1).
Para x>2: F(x)=1.
Observações úteis:
F(x) é contínua em todo lugar (verificou-se que os valores coincidem em x=1).
A derivada F'(x)=f(x) coincide com a densidade: para 0<x<1, F'(x)=\dfrac{2}{5}(2-x); para 1<x<2, F'(x)=\dfrac{2}{5}.
Se quiseres desenhar com pontos: marque (0,0), (1,3/5) e (2,1); desenha a parábola suave entre 0 e 1 e a reta entre 1 e 2.
Passo 6
Calcular \mathbb{E}(X) usando a definição para densidade contínua.
Teoria usada: \mathbb{E}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx. Vou integrar em [0,1] e em [1,2].