Uma pessoa precisa tomar um ônibus que sai dentro de 20 minutos. Para chegar à estação rodoviária há dois trajetos, C1 e C2. Sabe-se que o tempo para percorrer C1 é N(18, 25), e para C 2 é \mathrm{N}(20,4). Obs.: N (média, variância) = Normalmente distribuído, em minutos ( 2,0 Pontos). (a) Qual a melhor escolha para o trajeto e sua probabilidade?; (b) No momento em que ia escolher o trajeto, a pessoa foi informada que haverá um atraso de 3 minutos na saída do ônibus. Qual a melhor escolha agora e sua probabilidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (tempos em minutos):
    • Trajeto C_1 tem tempo de viagem com distribuição \mathrm{N}(18,25). Ou seja, média \mu_1=18 e variância \sigma_1^{2}=25.
    • Trajeto C_2 tem tempo de viagem com distribuição \mathrm{N}(20,4). Ou seja, média \mu_2=20 e variância \sigma_2^{2}=4.
  • Informação sobre o ônibus:
    • (a) O ônibus sai dentro de 20 minutos.
    • (b) Depois foi informado que haverá atraso de 3 minutos, ou seja, a nova margem de tempo é 20+3=23 minutos.
O enunciado pede:
(a) Qual trajeto escolher para maximizar a probabilidade de chegar antes da partida e qual é essa probabilidade?
(b) Com o atraso de 3 minutos (prazo 23 minutos), qual trajeto escolher agora e qual é a probabilidade correspondente?

Passo 2

Explicando a ideia e a ferramenta que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
  • O que queremos é, para cada trajeto, a probabilidade de que o tempo T do trajeto seja menor ou igual ao prazo disponível t_{lim}: isto é \Pr(T \le t_{lim}).
  • Como os tempos são normalmente distribuídos, podemos calcular essas probabilidades padronizando cada variável normal e usando a tabela (ou função) da Normal padrão Z\sim\mathrm{N}(0,1).
  • Lembrete importante sobre termos:
    • Para uma normal T\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}), a média \mu é o valor esperado (centro da distribuição).
    • A variância \sigma^{2} mede a dispersão; o desvio-padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}. Aqui vamos precisar do \sigma.
  • Método prático: para cada trajeto e cada prazo t_{lim}, calculamos o escore-z Z=\frac{t_{lim}-\mu}{\sigma},e então \Pr(T\le t_{lim})=\Pr\big(Z\le \tfrac{t_{lim}-\mu}{\sigma}\big)=\Phi\!\left(\tfrac{t_{lim}-\mu}{\sigma}\right),
    onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão (ou seja, \Phi(z)=\Pr(Z\le z)).

Passo 3

Calcular o que precisamos da distribuição (desvios-padrão) para usar no padrão Z.
  • Para C_1:\\ \sigma_1=\sqrt{25}=5.
  • Para C_2:\\ \sigma_2=\sqrt{4}=2.
Agora já temos \mu_1=18,\\ \sigma_1=5 e \mu_2=20,\\ \sigma_2=2.

Passo 4

Parte (a): prazo t_{lim}=20 minutos. Calcular \Pr(T\le20) para cada trajeto.
  • Para C_1:
    • Calcular o Z: Z_1=\frac{20-\mu_1}{\sigma_1}=\frac{20-18}{5}=\frac{2}{5}=0,4.
    • Assim \Pr(T_{C_1}\le 20)=\Phi(0,4).Consultando a tabela da normal padrão (ou uma função), \Phi(0,4)\approx 0,6554.
    • Interpretação: escolhendo C_1, a chance de chegar em até 20 minutos é aproximadamente 65,54\%.

Passo 5

Ainda parte (a), para C_2:
  • Para C_2:
    • Calcular o Z: Z_2=\frac{20-\mu_2}{\sigma_2}=\frac{20-20}{2}=0.
    • Assim \Pr(T_{C_2}\le 20)=\Phi(0)=0,5.
    • Interpretação: escolhendo C_2, a chance de chegar em até 20 minutos é 50\%.
  • Comparação e escolha para (a): 0,6554>0,5, logo a melhor escolha é C_1 com probabilidade \approx 0,6554.

Passo 6

Parte (b): agora o prazo é t_{lim}=23 minutos (pois houve atraso de 3 minutos). Repetimos o mesmo procedimento.
  • Objetivo: calcular \Pr(T\le 23) para cada trajeto e comparar.

Passo 7

Calcular para C_1 com t_{lim}=23:
  • Z_1'=\dfrac{23-\mu_1}{\sigma_1}=\dfrac{23-18}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
  • Portanto \Pr(T_{C_1}\le 23)=\Phi(1)\approx 0,8413.
  • Interpretação: com o atraso, se escolher C_1 a chance de chegar antes de 23 minutos é aproximadamente 84,13\%.

Passo 8

Calcular para C_2 com t_{lim}=23:
  • Z_2'=\dfrac{23-\mu_2}{\sigma_2}=\dfrac{23-20}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5.
  • Portanto
    \Pr(T_{C_2}\le 23)=\Phi(1,5)\approx 0,9332.
  • Interpretação: com o atraso, se escolher C_2 a chance de chegar antes de 23 minutos é aproximadamente 93,32\%.
  • Comparação e escolha para (b): 0,9332>0,8413, logo a melhor escolha agora é C_2 com probabilidade \approx 0,9332.

Resposta

(a) Escolher C_1, probabilidade \approx 0,6554.
(b) Escolher C_2, probabilidade \approx 0,9332.

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