Uma pessoa precisa tomar um ônibus que sai dentro de 20 minutos. Para chegar à estação rodoviária há dois trajetos, C1 e C2. Sabe-se que o tempo para percorrer C1 é N(18, 25), e para C 2 é
. Obs.: N (média, variância) = Normalmente distribuído, em minutos ( 2,0 Pontos). (a) Qual a melhor escolha para o trajeto e sua probabilidade?; (b) No momento em que ia escolher o trajeto, a pessoa foi informada que haverá um atraso de 3 minutos na saída do ônibus. Qual a melhor escolha agora e sua probabilidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados (tempos em minutos):
- Trajeto
tem tempo de viagem com distribuição . Ou seja, média e variância . - Trajeto
tem tempo de viagem com distribuição . Ou seja, média e variância .
- Trajeto
- Informação sobre o ônibus:
- (a) O ônibus sai dentro de
minutos. - (b) Depois foi informado que haverá atraso de
minutos, ou seja, a nova margem de tempo é minutos.
- (a) O ônibus sai dentro de
O enunciado pede:
(a) Qual trajeto escolher para maximizar a probabilidade de chegar antes da partida e qual é essa probabilidade?
(b) Com o atraso de minutos (prazo
minutos), qual trajeto escolher agora e qual é a probabilidade correspondente?
(a) Qual trajeto escolher para maximizar a probabilidade de chegar antes da partida e qual é essa probabilidade?
(b) Com o atraso de
Passo 2
Explicando a ideia e a ferramenta que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
- O que queremos é, para cada trajeto, a probabilidade de que o tempo
do trajeto seja menor ou igual ao prazo disponível : isto é . - Como os tempos são normalmente distribuídos, podemos calcular essas probabilidades padronizando cada variável normal e usando a tabela (ou função) da Normal padrão
. - Lembrete importante sobre termos:
- Para uma normal
, a média é o valor esperado (centro da distribuição). - A variância
mede a dispersão; o desvio-padrão é . Aqui vamos precisar do .
- Para uma normal
- Método prático: para cada trajeto e cada prazo
, calculamos o escore-z e então ,
ondeé a função de distribuição acumulada da Normal padrão (ou seja, ).
Passo 3
Calcular o que precisamos da distribuição (desvios-padrão) para usar no padrão
.
- Para
. - Para
.
Agora já temos
e
.
Passo 4
Parte (a): prazo
minutos. Calcular
para cada trajeto.
- Para
: - Calcular o
: - Assim
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma função), . - Interpretação: escolhendo
, a chance de chegar em até minutos é aproximadamente .
- Calcular o
Passo 5
Ainda parte (a), para
:
-
Para
: - Calcular o
: - Assim
- Interpretação: escolhendo
, a chance de chegar em até minutos é .
- Calcular o
-
Comparação e escolha para (a):
, logo a melhor escolha é com probabilidade .
Passo 6
Parte (b): agora o prazo é
minutos (pois houve atraso de
minutos). Repetimos o mesmo procedimento.
- Objetivo: calcular
para cada trajeto e comparar.
Passo 7
Calcular para
com
:
-
. - Portanto
- Interpretação: com o atraso, se escolher
a chance de chegar antes de minutos é aproximadamente .
Passo 8
Calcular para
com
:
-
. -
Portanto
-
Interpretação: com o atraso, se escolher
a chance de chegar antes de minutos é aproximadamente . -
Comparação e escolha para (b):
, logo a melhor escolha agora é com probabilidade .
Resposta
(a) Escolher
, probabilidade
.
(b) Escolher , probabilidade
.
(b) Escolher