Dada a seguinte função de transferência em malha aberta: 10s^2+10 s.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha em erro em regime para entrada em rampa unitária de 0,05. Com esse ganho projetado qual o instante de pico da resposta ao degrau do sistema em malha fechada?
Obs: dê a resposta em milisegundos. Por exemplo se achar 0,127 use 127.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido nesse exercício. A gente tem uma função de transferência em malha aberta dada por:
10s^2 + 10s
O conteúdo envolvido aqui é Controle de Sistemas, especificamente sobre controladores proporcionais e análise de resposta em malha fechada. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como projetar um controlador proporcional que atenda a um critério de erro em regime para entrada em rampa e, depois, determinar o instante de pico da resposta ao degrau desse sistema controlado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o controlador proporcional. Esse tipo de controlador simplesmente multiplica o erro (diferença entre a entrada e a saída) por um ganho $ K_p $. A função de transferência do controlador é então $ K_p $.
Quando a gente coloca esse controlador no sistema, a função de transferência em malha fechada fica:
Kp

Passo 3

Agora, precisamos determinar o ganho $ K_p $ de forma que o erro em regime para uma entrada em rampa seja 0,05. O erro em regime para uma rampa depende do ganho estático $ K_v $ do sistema, que é dado por:
Kp
O erro em regime para uma entrada em rampa é:
Kv
Queremos que $ e_{ss} = 0,05 $, então:
Kv = lims to 0 s cdot 10Kps^2 + 10s + 10Kp = 10Kp10 = Kp

Passo 4

Com o ganho $ K_p = 20 $ encontrado, vamos agora analisar a resposta ao degrau do sistema em malha fechada. A função de transferência fechada é:
Kp = 20
Podemos reescrever o denominador na forma padrão para sistemas de segunda ordem:
10 cdot 20s^2 + 10s + 200 = 200s^2 + 10s + 200
Comparando os coeficientes, temos:
s^2 + 10s + 200 = s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Resolvendo para $ \zeta $:
2zetaomegan = 10 omegan^2 = 200 implies omegan = raiz200 approx 14,14 , rad/s

Passo 5

Agora, vamos encontrar o instante de pico ($ t_p $) da resposta ao degrau. Para sistemas de segunda ordem superam o pico antes de atingir o estado estacionário. A fórmula para $ t_p $ é:
tp
Substituindo os valores encontrados:
tp
Convertendo para milissegundos:
tp = piomegan raiz1 - zeta^2

Resposta

O instante de pico da resposta ao degrau do sistema em malha fechada é aproximadamente 237 milissegundos.

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