Dada a seguinte função de transferência em malha aberta: 1s(s^2+6 s+2). Qual deve ser o valor do ganho do controlador proporcional para que o sistema em malha fechada com esse ganho tenha um erro em regime permante de 0,1 para um entrada em rampa unitária?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos o valor do ganho de um controlador proporcional que faz com que o sistema em malha fechada tenha um erro em regime permanente de 0,1 para uma entrada em rampa unitária. Isso está dentro do campo de Sistemas de Controle, mais especificamente trabalhando com funções de transferência, malha fechada e erro em regime permanente. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar o ganho do controlador com o erro desejado usando conceitos de controle proporcional e análise de erro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de transferência em malha aberta fornecida:
G(s)H(s) = 1s(s^2 + 6s + 2)
Aqui, $ G(s) $ é a função de transferência do sistema e $ H(s) $ é a função de transferência do feedback, que assumimos ser 1 já que não foi especificada.

Passo 3

Como vamos usar um controlador proporcional, o ganho do controlador $ K $ se multiplica diretamente com $ G(s) $. Portanto, a função de transferência em malha fechada fica:
K

Passo 4

Agora, para encontrar o erro em regime permanente para uma entrada em rampa, usamos a fórmula do erro em regime permanente para sistemas do tipo 1 (porque o denominador de $ G(s)H(s) $ tem um polo em $ s = 0 $):
G(s)H(s)
Onde $ K_v $ é a constante de velocidade.

Passo 5

Vamos calcular $ K_v $. A constante de velocidade é definida como:
Kv
Substituindo $ s = 0 $:
Kv = lims to 0 s cdot G(s)H(s) = lims to 0 s cdot 1s(s^2 + 6s + 2) = lims to 0 1s^2 + 6s + 2

Passo 6

Sabemos que queremos que $ e_{ss} = 0,1 $. Usando a relação $ e_{ss} = \frac{1}{K_v} $:
ess = 0,1
Isso não faz sentido, então devemos ter cometido um erro. Vamos reavaliar a definição de $ K_v $ no contexto de um controlador proporcional.

Passo 7

Na verdade, com um controlador proporcional $ K $, a constante de velocidade $ K_v $ para um sistema tipo 1 é:
K

Passo 8

Agora, usando $ e_{ss} = \frac{1}{K_v} $ e substituindo $ K_v = \frac{K}{2} $:
ess = 1Kv

Passo 9

Resolvendo para $ K $:
K

Resposta

O ganho do controlador proporcional deve ser $ K = 20 $ para que o sistema em malha fechada tenha um erro em regime permanente de 0,1 para uma entrada em rampa unitária.

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