Dada a seguinte função de transferência de segunda ordem, T(s)=Y(s)R(s)=1s^2+s+1. Se r(t) for um degrau unitário aplicado em t=4 segundos, a partir de qual valor de t a saída ficará confinada entre 0,95 e 1,05 ?
Obs: dê a resposta com um tempo inteiro aproximado. Por exemplo, se você encontrar um valor de 3,7 segundos, use 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de transferência de segunda ordem, que é uma ferramenta usada em engenharia para analisar como sistemas respondem a entradas. Precisamos descobrir a partir de que tempo após aplicar um degrau unitário em $ t = 4 $ segundos a saída do sistema vai ficar entre 0,95 e 1,05.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de transferência dada:
T(s) = Y(s)R(s) = 1s^2 + s + 1
Essa é uma função de segunda ordem, o que geralmente descreve sistemas com respostas oscilatórias ou amortecidas.

Passo 3

Como a entrada $ r(t) $ é um degrau unitário aplicado em $ t = 4 $ segundos, isso significa que a entrada é zero antes de $ t = 4 $ e passa a ser 1 a partir desse tempo. Para analisar isso, podemos considerar que a resposta do sistema começa a partir de $ t = 4 $.

Passo 4

Vamos achar a resposta ao degrau do sistema. A resposta ao degrau de uma função de transferência $ T(s) $ é dada por:
T(s)
Aplicando isso na nossa função:
y(t) = L^-1 T(s) cdot 1s

Passo 5

Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a inversa da transformada de Laplace. A expressão resultante pode ser resolvida usando frações parciais ou completando o quadrado no denominador. Vamos completar o quadrado:
y(t)
Isso nos ajuda a identificar a forma da resposta no tempo.

Passo 6

A resposta ao degrau para esse tipo de sistema geralmente envolve exponenciais e funções senoidais devido à parte imaginária. A solução ficará assim:
y(t) = 1 - e^-12(t-4) [ cos(raiz32(t-4)) + 1raiz3 sin(raiz32(t-4)) ]
Aqui, $ t-4 $ porque o degrau foi aplicado em $ t = 4 $.

Passo 7

Queremos que $ y(t) $ fique entre 0,95 e 1,05. Como o sistema tende para 1 no estado estacionário, vamos resolver a inequação:
y(t)
Mas como o sistema é estável e tende para 1, focamos na parte inferior:
0,95 <= 1 - e^-12(t-4) [ cos(raiz32(t-4)) + 1raiz3 sin(raiz32(t-4)) ] <= 1,05
1 - y(t) <= 0,05

Passo 8

Para simplificar, notamos que $ e^{-\frac{1}{2}(t-4)} $ decai exponencialmente. Então, queremos encontrar o tempo $ t $ quando essa função decai suficientemente para que toda a expressão seja menor ou igual a 0,05.
Resolvendo numericamente ou usando métodos de aproximação, encontramos que isso ocorre aproximadamente quando:
e^-12(t-4)
Então,
t

Resposta

A saída ficará confinada entre 0,95 e 1,05 a partir de 10 segundos.

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