Dada a seguinte função de transferência de segunda ordem,
. Se
for um degrau unitário aplicado em
segundos, a partir de qual valor de
a saída ficará confinada entre 0,95 e 1,05 ?
Obs: dê a resposta com um tempo inteiro aproximado. Por exemplo, se você encontrar um valor de 3,7 segundos, use 4.
Obs: dê a resposta com um tempo inteiro aproximado. Por exemplo, se você encontrar um valor de 3,7 segundos, use 4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de transferência de segunda ordem, que é uma ferramenta usada em engenharia para analisar como sistemas respondem a entradas. Precisamos descobrir a partir de que tempo após aplicar um degrau unitário em $ t = 4 $ segundos a saída do sistema vai ficar entre 0,95 e 1,05.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de transferência dada:
Essa é uma função de segunda ordem, o que geralmente descreve sistemas com respostas oscilatórias ou amortecidas.
Passo 3
Como a entrada $ r(t) $ é um degrau unitário aplicado em $ t = 4 $ segundos, isso significa que a entrada é zero antes de $ t = 4 $ e passa a ser 1 a partir desse tempo. Para analisar isso, podemos considerar que a resposta do sistema começa a partir de $ t = 4 $.
Passo 4
Vamos achar a resposta ao degrau do sistema. A resposta ao degrau de uma função de transferência $ T(s) $ é dada por:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 5
Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a inversa da transformada de Laplace. A expressão resultante pode ser resolvida usando frações parciais ou completando o quadrado no denominador. Vamos completar o quadrado:
Isso nos ajuda a identificar a forma da resposta no tempo.
Passo 6
A resposta ao degrau para esse tipo de sistema geralmente envolve exponenciais e funções senoidais devido à parte imaginária. A solução ficará assim:
Aqui, $ t-4 $ porque o degrau foi aplicado em $ t = 4 $.
Passo 7
Queremos que $ y(t) $ fique entre 0,95 e 1,05. Como o sistema tende para 1 no estado estacionário, vamos resolver a inequação:
Mas como o sistema é estável e tende para 1, focamos na parte inferior:
Passo 8
Para simplificar, notamos que $ e^{-\frac{1}{2}(t-4)} $ decai exponencialmente. Então, queremos encontrar o tempo $ t $ quando essa função decai suficientemente para que toda a expressão seja menor ou igual a 0,05.
Resolvendo numericamente ou usando métodos de aproximação, encontramos que isso ocorre aproximadamente quando:
Então,
Resposta
A saída ficará confinada entre 0,95 e 1,05 a partir de 10 segundos.