Dada a seguinte função de transferência em malha aberta:
.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um overshoot de
. Qual o tempo de subida de 0-100% dessa resposta ao degrau?
Obs: dê a resposta em milisegundos. Por exemplo se achar 0,127 use 127.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um overshoot de
Obs: dê a resposta em milisegundos. Por exemplo se achar 0,127 use 127.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência em malha aberta dada por
. O objetivo aqui é projetar um controlador proporcional que, quando aplicado, faça com que o sistema fechado tenha uma resposta ao degrau com um overshoot de 25%. No final, a gente quer saber qual é o tempo que o sistema leva para subir de 0% até 100% dessa resposta ao degrau. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de controle, funções de transferência, controladores proporcionais, e como o overshoot está relacionado com o amortecimento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função de transferência dada:
. Essa é uma função de transferência de um sistema de segunda ordem sem ganho adicional. Para facilitar, vamos reescrever essa função como
, o que mostra que o sistema tem dois polos em
e
. Isso indica que o sistema é de segunda ordem e sem parte oscilatória inicialmente.
Passo 3
Agora, precisamos projetar um controlador proporcional. Um controlador proporcional é simplesmente um ganho
que multiplica a função de transferência do sistema. Então, a função de transferência em malha fechada fica:
Essa é a nossa nova função de transferência com o controlador proporcional aplicado. O próximo passo é relacionar o overshoot desejado com o amortecimento do sistema.
Passo 4
O overshoot (
) está relacionado com o fator de amortecimento (
) da seguinte maneira:
Queremos um overshoot de 25%, então:
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando o valor:
Simplificando:
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Com o fator de amortecimento
, agora precisamos encontrar o ganho
que satisfaz a função de transferência em malha fechada. A equação característica do sistema é:
Comparando com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Podemos igualar os coeficientes:
Da primeira equação:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o tempo de subida (
) de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem, o tempo de subida pode ser aproximado pela fórmula:
Onde
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo na fórmula:
Convertendo para milissegundos:
Resposta
O tempo de subida da resposta ao degrau é aproximadamente 658 milissegundos.