Dada a seguinte função de transferência em malha aberta: 1s^2+4 s.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um overshoot de 25 %. Qual o tempo de subida de 0-100% dessa resposta ao degrau?
Obs: dê a resposta em milisegundos. Por exemplo se achar 0,127 use 127.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência em malha aberta dada por 1s^2+4 s. O objetivo aqui é projetar um controlador proporcional que, quando aplicado, faça com que o sistema fechado tenha uma resposta ao degrau com um overshoot de 25%. No final, a gente quer saber qual é o tempo que o sistema leva para subir de 0% até 100% dessa resposta ao degrau. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de controle, funções de transferência, controladores proporcionais, e como o overshoot está relacionado com o amortecimento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função de transferência dada: 1s^2+4 s. Essa é uma função de transferência de um sistema de segunda ordem sem ganho adicional. Para facilitar, vamos reescrever essa função como 1s(s + 4), o que mostra que o sistema tem dois polos em s = 0 e s = -4. Isso indica que o sistema é de segunda ordem e sem parte oscilatória inicialmente.

Passo 3

Agora, precisamos projetar um controlador proporcional. Um controlador proporcional é simplesmente um ganho K que multiplica a função de transferência do sistema. Então, a função de transferência em malha fechada fica:
Ks^2 + 4 s + K
Essa é a nossa nova função de transferência com o controlador proporcional aplicado. O próximo passo é relacionar o overshoot desejado com o amortecimento do sistema.

Passo 4

O overshoot ( OS) está relacionado com o fator de amortecimento ( zeta) da seguinte maneira:
OS = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100%
Queremos um overshoot de 25%, então:
25 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100
Resolvendo para zeta:
25100 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 )
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(0.25) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Calculando o valor:
-1.3863 = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Simplificando:
1.3863 = pi zetaraiz1 - zeta^2
Agora, resolvemos para zeta:
zeta = 1.3863raizpi^2 + 1.3863^2 approx 0.404

Passo 5

Com o fator de amortecimento zeta approx 0.404, agora precisamos encontrar o ganho K que satisfaz a função de transferência em malha fechada. A equação característica do sistema é:
s^2 + 4 s + K = 0
Comparando com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = 0
Podemos igualar os coeficientes:
2 zeta omegan = 4 e omegan^2 = K
Da primeira equação:
omegan = 42 zeta = 42 times 0.404 approx 4.95 rad/s
Então,
K = omegan^2 approx (4.95)^2 approx 24.5

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo de subida ( tr) de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem, o tempo de subida pode ser aproximado pela fórmula:
tr approx pi - thetaomegan raiz1 - zeta^2
Onde theta = arccos(zeta).
Primeiro, calculamos theta:
theta = arccos(0.404) approx 1.159 rad
Agora, substituindo na fórmula:
tr approx pi - 1.1594.95 times raiz1 - 0.404^2 approx 2.9824.95 times 0.915 approx 2.9824.529 approx 0.658 s
Convertendo para milissegundos:
0.658 s = 658 ms

Resposta

O tempo de subida da resposta ao degrau é aproximadamente 658 milissegundos.

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