Dada a seguinte função de transferência em malha aberta: 1s^2+0,2 s.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um instante de pico de 31,4 segundos. Qual overshoot dessa resposta ao degrau?
Obs: dê a resposta em percentual inteiro aproximado. Por exemplo, se você achar um oveshoot de 27,5% use 27 ou 28.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de transferência em malha aberta dada por $ \frac{1}{s^{2} + 0,2 s} $ e precisa projetar um controlador proporcional para que o sistema em malha fechada tenha uma resposta ao degrau com um instante de pico de 31,4 segundos. Além disso, queremos encontrar o overshoot dessa resposta em percentual. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de controle de sistemas, especificamente sobre sistemas de segunda ordem, controladores proporcionais, e características da resposta ao degrau como o instante de pico e o overshoot.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de transferência em malha aberta:
G(s) = 1s^2 + 0,2 s
Queremos projetar um controlador proporcional $ C(s) = K $, onde $ K $ é o ganho que vamos determinar. A função de transferência em malha fechada fica:
C(s) = K

Passo 3

Para analisar a resposta ao degrau, precisamos colocar a função de transferência em forma padrão de um sistema de segunda ordem:
T(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Comparando com a nossa função de transferência:
omegan^2 = K e 2 zeta omegan = 0,2

Passo 4

Sabemos que o instante de pico ($ t_p tp áê \omega_n omegan \zeta $) pela fórmula:
zeta
Nosso objetivo é encontrar $ K $ de modo que $ t_p = 31,4 $ segundos. Primeiro, vamos expressar $ \zeta $ em termos de $ \omega_n $:
tp = piomegan raiz1 - zeta^2

Passo 5

Substituindo $ \zeta $ na equação do instante de pico:
zeta
Vamos resolver essa equação para encontrar $ \omega_n $.

Passo 6

Primeiro, isolamos $ \omega_n $:
omegan
Calculando o valor numérico do lado direito:
omegan raiz1 - ( 0,1omegan )^2 = pi31,4
Então:
pi31,4 approx 0,1 , s^-1

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Sejam $ x = \omega_n $, então a equação fica:
x = omegan
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x raiz1 - ( 0,1x )^2 = 0,1
Distribuindo $ x^{2} $:
x^2 (1 - 0,01x^2) = 0,01

Passo 8

Resolvendo para $ x^{2} $:
x^2
Então:
x^2 = 0,02
Portanto, $ \omega_n \approx 0,1414 , s^{-1} $.

Passo 9

Agora que temos $ \omega_n $, podemos encontrar o ganho $ K $:
omegan

Passo 10

Com o ganho $ K $ determinado, podemos calcular o fator de amortecimento $ \zeta $:
K

Passo 11

Agora, vamos calcular o overshoot ($ %OS $) usando a fórmula:
%OS
Substituindo $ \zeta \approx 0,707 $:
%OS = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100%
Calculando o denominador:
zeta approx 0,707
Então:
%OS = e^( -pi times 0,707raiz1 - (0,707)^2 ) times 100%
Calculando $ e^{-\pi} $:
raiz1 - 0,5 = raiz0,5 approx 0,707
Portanto:
%OS = e^( -pi times 0,7070,707 ) times 100% = e^-pi times 100%

Resposta

O overshoot dessa resposta ao degrau é aproximadamente 4%.

Exercícios relacionados