Dada a seguinte função de transferência em malha aberta:
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Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um instante de pico de 31,4 segundos. Qual overshoot dessa resposta ao degrau?
Obs: dê a resposta em percentual inteiro aproximado. Por exemplo, se você achar um oveshoot de 27,5% use 27 ou 28.
Projete um controlador proporcional de modo que o sistema em malha fechada com o ganho projetado tenha uma resposta ao degrau com um instante de pico de 31,4 segundos. Qual overshoot dessa resposta ao degrau?
Obs: dê a resposta em percentual inteiro aproximado. Por exemplo, se você achar um oveshoot de 27,5% use 27 ou 28.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de transferência em malha aberta dada por $ \frac{1}{s^{2} + 0,2 s} $ e precisa projetar um controlador proporcional para que o sistema em malha fechada tenha uma resposta ao degrau com um instante de pico de 31,4 segundos. Além disso, queremos encontrar o overshoot dessa resposta em percentual. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de controle de sistemas, especificamente sobre sistemas de segunda ordem, controladores proporcionais, e características da resposta ao degrau como o instante de pico e o overshoot.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de transferência em malha aberta:
Queremos projetar um controlador proporcional $ C(s) = K $, onde $ K $ é o ganho que vamos determinar. A função de transferência em malha fechada fica:
Passo 3
Para analisar a resposta ao degrau, precisamos colocar a função de transferência em forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Comparando com a nossa função de transferência:
Passo 4
Sabemos que o instante de pico ($ t_p
\omega_n
\zeta $) pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar $ K $ de modo que $ t_p = 31,4 $ segundos. Primeiro, vamos expressar $ \zeta $ em termos de $ \omega_n $:
Passo 5
Substituindo $ \zeta $ na equação do instante de pico:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ \omega_n $.
Passo 6
Primeiro, isolamos $ \omega_n $:
Calculando o valor numérico do lado direito:
Então:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Sejam $ x = \omega_n $, então a equação fica:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Distribuindo $ x^{2} $:
Passo 8
Resolvendo para $ x^{2} $:
Então:
Portanto, $ \omega_n \approx 0,1414 , s^{-1} $.
Passo 9
Agora que temos $ \omega_n $, podemos encontrar o ganho $ K $:
Passo 10
Com o ganho $ K $ determinado, podemos calcular o fator de amortecimento $ \zeta $:
Passo 11
Agora, vamos calcular o overshoot ($ %OS $) usando a fórmula:
Substituindo $ \zeta \approx 0,707 $:
Calculando o denominador:
Então:
Calculando $ e^{-\pi} $:
Portanto:
Resposta
O overshoot dessa resposta ao degrau é aproximadamente 4%.