Dado o sistema dotado com realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=60(s+5)(s+8)
Projete um compensador que permita anular o erro estacionário de posição sem alterar o grau de amortecimento e mantendo, tanto quanto possível, a mesma resposta transitória.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: temos um sistema em malha fechada unitária com
G(s)=60(s+5)(s+8),
Queremos projetar um compensador que zere o erro estacionário de posição (i.e. vira sistema do tipo 1, erro a passo zero) sem alterar o grau de amortecimento (ζ) nem “bagunçar” muito a resposta transitória atual.
Conteúdo envolvido: erro em regime permanente, tipo de sistema, compensador PI, frequência de cruzamento (ωc), fator de amortecimento ζ e frequência natural ωn.

Passo 2

Primeiro vamos achar ζ e ωn do sistema atual. A função de transferência em malha fechada é
T(s)=G(s)1+G(s)=60(s+5)(s+8)+60=60s^2+13s+100,
Comparando com s^2+2ζωn s+ωn^2=0,,
vemos que

.
Então ζ≈0.65 e ωn=10 rad/s. Esses valores definem o amortecimento e a “velocidade” da resposta.

Passo 3

Para anular o erro de posição em regime permanente, a gente precisa que o sistema seja do tipo 1 (um integrador a mais em malha). A forma mais simples é usar um compensador PI:
C(s)=Kl(1+1Ti,sr)=K,(Ti,s+1)Ti,s,
Aqui o polo na origem (1/(T_i s)) garante tipo 1 e “zera” o erro a passo, e o zero em pode ajudar a manter o amortecimento.

Passo 4

Agora, para não bagunçar o amortecimento ζ=0.65, a gente coloca o zero do PI numa frequência aproximada a
zc=1Tiapprox 2ζ,ωn=2cdot0.65cdot10=13;rad/s,
Ou seja, escolhemos
Ti=113approx0.077,

Passo 5

Falta ajustar o ganho K para que a frequência de cruzamento (ωc) permaneça quase igual à original.
  1. Primeiro, calcula-se ωc original resolvendo |G(jω)|=60raiz(ω^2+5^2)(ω^2+8^2)=1 : |C(jω),G(jω)|=1 Isso dá aproximadamente |C(jω)|=K;|jω+13||jω| =K;raizω^2+13^2ω =K;raiz4.31^2+13^24.31 ≈Kcdot3.18 rad/s.
  2. No sistema compensado, em Kcdot3.18=1Rightarrow K≈0.314 , queremos Como e já tínhamos , basta ter

Passo 6

Juntando tudo, nosso compensador PI fica
C(s)=0.314;l(1+10.077,sr) =0.314+4.078s,
Isso adiciona o integrador que zera o erro de posição, posiciona o zero em pra manter ζ≈0.65 e escolhe pra não mudar muito ωc nem a forma da resposta transitória.

Resposta

O compensador projetado é
boxedC(s)=0.314;l(1+10.077,sr) =0.314+4.078s,
Ele garante erro estacionário nulo, mantém o grau de amortecimento e preserva, tanto quanto possível, a resposta transitória original.

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