Dado o sistema dotado com realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
Projete um compensador que permita anular o erro estacionário de posição sem alterar o grau de amortecimento e mantendo, tanto quanto possível, a mesma resposta transitória.
Projete um compensador que permita anular o erro estacionário de posição sem alterar o grau de amortecimento e mantendo, tanto quanto possível, a mesma resposta transitória.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: temos um sistema em malha fechada unitária com
Queremos projetar um compensador que zere o erro estacionário de posição (i.e. vira sistema do tipo 1, erro a passo zero) sem alterar o grau de amortecimento (ζ) nem “bagunçar” muito a resposta transitória atual.
Conteúdo envolvido: erro em regime permanente, tipo de sistema, compensador PI, frequência de cruzamento (ωc), fator de amortecimento ζ e frequência natural ωn.
Passo 2
Primeiro vamos achar ζ e ωn do sistema atual. A função de transferência em malha fechada é
Comparando com
vemos que
•
• .
Então ζ≈0.65 e ωn=10 rad/s. Esses valores definem o amortecimento e a “velocidade” da resposta.
vemos que
•
•
Então ζ≈0.65 e ωn=10 rad/s. Esses valores definem o amortecimento e a “velocidade” da resposta.
Passo 3
Para anular o erro de posição em regime permanente, a gente precisa que o sistema seja do tipo 1 (um integrador a mais em malha). A forma mais simples é usar um compensador PI:
Aqui o polo na origem (1/(T_i s)) garante tipo 1 e “zera” o erro a passo, e o zero em
Passo 4
Agora, para não bagunçar o amortecimento ζ=0.65, a gente coloca o zero do PI numa frequência aproximada a
Ou seja, escolhemos
Passo 5
Falta ajustar o ganho K para que a frequência de cruzamento (ωc) permaneça quase igual à original.
- Primeiro, calcula-se ωc original resolvendo
: Isso dá aproximadamente rad/s. - No sistema compensado, em
, queremos Como e já tínhamos , basta ter
Passo 6
Juntando tudo, nosso compensador PI fica
Isso adiciona o integrador que zera o erro de posição, posiciona o zero em
pra manter ζ≈0.65 e escolhe
pra não mudar muito ωc nem a forma da resposta transitória.
Resposta
O compensador projetado é
Ele garante erro estacionário nulo, mantém o grau de amortecimento e preserva, tanto quanto possível, a resposta transitória original.