Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
(b) Manter o mesmo valor do grau de amortecimento, mas tornar o sistema duas vezes mais rápido com auxílio de um compensador .
Passo 1
Beleza, o exercício (parte b) pede: “manter o mesmo grau de amortecimento do sistema com realimentação unitária e função direta
mas deixá-lo duas vezes mais rápido usando um compensador PD.”
Conteúdo: projeto por lugar das raízes (root locus) e desenho de compensador do tipo PD (proporcional-derivativo). Vamos precisar:
Saber qual era o amortecimento original ζ (já obtido na parte a).
Calcular a nova frequência natural (é o dobro da original).
Colocar o zero do PD de modo que o lugar das raízes passe pelos novos pólos desejados.
Ajustar o ganho para fechar a malha.
Passo 2
Determinar os pólos dominantes originais.
Se os pólos dominantes do sistema em malha fechada eram
então a frequência natural original é
e o amortecimento é .
Como queremos duas vezes mais rápido mantendo ζ, basta definir
Logo os novos pólos desejados são
Passo 3
Escolher a estrutura PD.
Escrevemos o compensador como
onde o zero do PD está em , com .
A ideia é colocar esse zero para “puxar” o lugar das raízes até .
Passo 4
Aplicar a condição de ângulo no ponto .
No lugar das raízes fechado, exige-se
Ou seja,
Se chamarmos ,
então
Escrevendo e ,
Resolvendo para :
pois . Assim fixamos .
Passo 5
Ajustar o ganho pela condição de módulo:
Ou seja,
Kc =;zc;|sd|,|sd+5|,|sd+8||sd+zc|
Dessa equação sai diretamente
Resposta
O compensador PD que dobra a velocidade mantendo o amortecimento C(s) =Kc,(1+Td s), é