Questão 4

Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=Ks(s+5)(s+8)
(b) Manter o mesmo valor do grau de amortecimento, mas tornar o sistema duas vezes mais rápido com auxílio de um compensador P D.

Passo 1

Beleza, o exercício (parte b) pede: “manter o mesmo grau de amortecimento do sistema com realimentação unitária e função direta
G(s)=Ks,(s+5),(s+8)
mas deixá-lo duas vezes mais rápido usando um compensador PD.”
Conteúdo: projeto por lugar das raízes (root locus) e desenho de compensador do tipo PD (proporcional-derivativo). Vamos precisar:
  • Saber qual era o amortecimento original ζ (já obtido na parte a).
  • Calcular a nova frequência natural (é o dobro da original).
  • Colocar o zero do PD de modo que o lugar das raízes passe pelos novos pólos desejados.
  • Ajustar o ganho para fechar a malha.

Passo 2

Determinar os pólos dominantes originais.
Se os pólos dominantes do sistema em malha fechada eram
s1,2=-zeta,omeganpm j,omeganraiz1-zeta^2,
então a frequência natural original é
omegan=raiz(Res1)^2+(Ims1)^2,
e o amortecimento é omegan' = 2,omegan, zeta' = zeta .
Como queremos duas vezes mais rápido mantendo ζ, basta definir
sd = -zeta',omegan' ;pm; j,omegan'raiz1-zeta'^2 = -2,zeta,omegan ;pm; j,2,omeganraiz1-zeta^2
Logo os novos pólos desejados são

Passo 3

Escolher a estrutura PD.
Escrevemos o compensador como
C(s)=Kc,(1+Td,s) =;Kc;s+zczc,
onde o zero do PD está em , com .
A ideia é colocar esse zero para “puxar” o lugar das raízes até .

Passo 4

Aplicar a condição de ângulo no ponto ang<=l[G(sd),C(sd)r]=180°(mod;360°) .
No lugar das raízes fechado, exige-se
ang<=(sd+zc) -l[ang<= sd+ang<=(sd+5)+ang<=(sd+8)r] =180°
Ou seja,
ang<=(sd+zc)=180°+phi0
Se chamarmos
ang<=(sd+zc) =tan^-1!l(omegadzc+sigmadr) =180°+phi0 ,
então
zc = -,sigmad ;+; omegadtan(180°+phi0) ;approx; -,sigmad ;-; omegadtan(phi0),
Escrevendo e ,
Resolvendo para :
pois . Assim fixamos .

Passo 5

Ajustar o ganho l|G(sd),C(sd)r|=1 pela condição de módulo:
Kc;|sd+zc|zc;times 1|sd|;|sd+5|;|sd+8| =1
Ou seja,
Kc =;zc;|sd|,|sd+5|,|sd+8||sd+zc|
Dessa equação sai diretamente

Resposta

O compensador PD que dobra a velocidade mantendo o amortecimento C(s) =Kc,(1+Td s), é
Td = 1zc, zc = -,Resd ;-;dfracImsdtan!l[ang<= sd+ang<=(sd+5)+ang<=(sd+8)r],[6pt] Kc = zc;dfracl|sdr|;l|sd+5r|;l|sd+8r|l|sd+zcr|,[4pt] sd = -2,zeta,omegan ;pm; j,2,omeganraiz1-zeta^2
com
Esse garante que o lugar das raízes passe pelos novos pólos , duplicando a velocidade sem alterar .

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