Dada a sequência
definida por
, qual é o valor de
? Assinale a alternativa correta:
(a) Esta sequência converge para
.
(b) Esta sequência converge para
.
(c) Esta sequência converge para 0.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta sequência diverge para
.
(a) Esta sequência converge para
(b) Esta sequência converge para
(c) Esta sequência converge para 0.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta sequência diverge para
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede o valor de
. Informações do enunciado:
As alternativas fornecidas são:
(a) converge para .
(b) converge para .
(c) converge para .
(d) nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) diverge para .
(a) converge para
(b) converge para
(c) converge para
(d) nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) diverge para
Passo 2
Primeiro uso uma propriedade básica dos logaritmos para simplificar a expressão: a diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente. Vou aplicar isso para deixar a sequência num formato mais fácil de analisar:
Passo 3
Agora preciso estudar o comportamento do quociente
quando
. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por
(ou por
); aqui dividir por
já basta e deixa claro a ordem de crescimento:
Passo 4
Agora tomo o limite termo a termo no quociente. Quando
temos
e
. Portanto
E
quando
. Logo o quociente
tende a
.
Passo 5
Interpretação do resultado para o logaritmo: se
e
é função contínua, monótona crescente e não limitada superiormente, então
. Aplicando isso ao nosso caso, como
temos
Uma maneira alternativa de ver rapidamente: para grandes
o quociente se comporta como
, e
, e sabemos que
.
Resposta
(e)