Dada a sequência \left(a_{n}\right) definida por \left(a_{n}\right)=\ln \left(3 n^{2}+5\right)-\ln (4 n-2), qual é o valor de \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} ? Assinale a alternativa correta:
(a) Esta sequência converge para \frac{25}{e}.
(b) Esta sequência converge para \frac{e}{25}.
(c) Esta sequência converge para 0.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta sequência diverge para \infty.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right) e pede o valor de \lim_{n\to\infty} a_{n}. Informações do enunciado:
a_{n}=\ln\left(3n^{2}+5\right)-\ln(4n-2).
As alternativas fornecidas são:
(a) converge para \dfrac{25}{e}.
(b) converge para \dfrac{e}{25}.
(c) converge para 0.
(d) nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) diverge para \infty.

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade básica dos logaritmos para simplificar a expressão: a diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente. Vou aplicar isso para deixar a sequência num formato mais fácil de analisar:
a_{n}=\ln\!\left(\frac{3n^{2}+5}{4n-2}\right).

Passo 3

Agora preciso estudar o comportamento do quociente
\frac{3n^{2}+5}{4n-2}
quando n\to\infty. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador por n (ou por n^{2}); aqui dividir por n já basta e deixa claro a ordem de crescimento:
\frac{3n^{2}+5}{4n-2}=\frac{n\left(3n+\dfrac{5}{n}\right)}{n\left(4-\dfrac{2}{n}\right)}=\frac{3n+\dfrac{5}{n}}{4-\dfrac{2}{n}}.

Passo 4

Agora tomo o limite termo a termo no quociente. Quando n\to\infty temos \dfrac{5}{n}\to0 e \dfrac{2}{n}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{3n+\dfrac{5}{n}}{4-\dfrac{2}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n+0}{4-0}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4}\,n.
E \dfrac{3}{4}\,n\to\infty quando n\to\infty. Logo o quociente \dfrac{3n^{2}+5}{4n-2} tende a +\infty.

Passo 5

Interpretação do resultado para o logaritmo: se x_{n}\to\infty e \ln é função contínua, monótona crescente e não limitada superiormente, então \ln(x_{n})\to\infty. Aplicando isso ao nosso caso, como
\frac{3n^{2}+5}{4n-2}\longrightarrow\infty,
temos
a_{n}=\ln\!\left(\frac{3n^{2}+5}{4n-2}\right)\longrightarrow\infty.
Uma maneira alternativa de ver rapidamente: para grandes n o quociente se comporta como \dfrac{3}{4}n, e \ln\!\left(\dfrac{3}{4}n\right)=\ln n+\ln\!\left(\dfrac{3}{4}\right), e sabemos que \ln n\to\infty.

Resposta

(e)

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